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THÉORIE DES FONCTIONS. — Sur la dérivation asymptotique . 

 Note (') de M. A. Khintciiine, présentée par M. Hadamard. 



Dans la présente Note je me propose d'établir quelques théorèmes sur la 

 dérivation asymptotique (-). 



1. Je commence par démontrer la proposition suivante : 



Théorème I. — Pour qu'une fonction mesurable F {x) définie dans l'inter- 

 valle [o, \\ possède une dérivée asymptotique finie F ^'^(j?) presque partout dans 

 cet intervalle, il faut et il suffit qu'on puisse, quel que soit £ > o, assigner un 

 ensemble parfait P de mesure plus grande que i — i et tel que F(jc) soit 

 absolument continue dans P. 



La condition est suffisante. En effet, soient o„(«=i, 2, ...)les intervalles 

 contigus de P. Considérons la fonction continue F, (r) égale à F (a;) 

 dans P et linéaire dans les o„. 



On voit aisément que F^ (.2;) est une fonction à variation bornée (et même 

 absolument continue) dans [o, i] ; par suite 'P\(x) existe et est finie presque 

 partout dans cet intervalle; on en conclut aisément que l'ensemble où F^'J(;r) 

 existe et est finie a au moins la mesure de P et contient pas suite presque 

 tout pointde [o, i]. 



La condition est aussi nécessaire. En effet, F(.r) possédant en presque 

 tout point de [0,1] une dérivée asymptotique finie ¥^^'^{x), soit II un 

 ensemble mesurable de mesure plus grande que 1 — £ et tel que F^'^(ir) 

 soit bornée dans IL Considérons la fonction '^{x) égale à F"'(.») dans II 

 et nulle en dehors de H, et soit $(a;) l'intégrale indéfinie de ©(a;) prise au 

 sens de M. Lebesgue. La fonction W{x) = F(a;) — tl)(,r) possède les deux 

 propriétés suivantes : 



1° On a W^^'^(x) = o presque partout dans H; 



2° W{.v) étant absolument continue dans un ensemble, ¥(^x) est absolu- 

 ment continue dans ce même ensemble. 



Partageons l'intervalle [o, i] en 2" parties égales, et soit —, — ^— une 



(' ) Séance du 8 janvier 1917 . 



(') Pour la terminologie voir ma Note du 21 février 1916, t. 162, p. 287. Voir 

 aussi la Note de M. Denjoy du i3 mars 1916, p 877. 



