SÉANCE DU l5 JANVIER IQI^- l43 



quelconque de ces parties. S'il est possible d'assigner deux nombres M 



et N = M tels que la condition 



N<>F(a;) <M 



soit remplie pour des points de l'intervalle considéré qui forment un en- 

 semble de mesure plus grande que-^:pj, appelons points de première espèce 

 les points de cet intervalle pour lesquels on a 



N--l:j<W(a.)<M + ^, 



et points de seconde espèce tous les autres; sinon, tous les points de l'inter- 

 valle considéré seront dits des points de seconde espèce. Soit A„ l'ensemble 

 des points de première espèce de tous les intervalles 



I 2" ' 2" J 



(A=0, 1,2,.. ., 2"— l). 



Considérons la suite d'ensembles 



(i) A,, Aj, . . . , A„, .... 



On voit aisément que tout point où l'on a W^'Hx) ^ o, donc presque 

 tout point de H, appartient à l'ensemble limite restreint de la suite (i). 



I 3" 2" I 



D'autre part, considérons l'intervalle j — ^^j^> — - — 1 et partageons ses 



points en deux espèces suivant le même principe. Soit B„ la réunion des 

 points de première espèce de tous ces intervalles (/f = o, i, 2, ..., 2" -- 2). 

 On voit de même que presque tout point de II appartient à l'ensemble limite 

 restreint de la suite B,, B,, ..., B„, 



On conclut de là qu'il est possible d'assigner un nombre entier m et un 

 ensemble parfait P (faisant partie de II) de mesure plus grande que i — £, 

 de sorte que tout point de P appartienne à la fois aux ensembles A„, B„, 

 quel que soit n^m. 



Je dis que '^'(x) est absolument continue dans P. En efi'et, soit 



[a, 6] (a <[ b) un intervalle quelconque de longueur h — a <C. -;;rn ^^ dont 



les extrémités sont des points de P, et soit p le nombre entier pour lequel 

 on a 



(2) — ^ Sb-a<-; 



