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on a évidemment /? > m. Supposons que h soit un point de l'intervalle 



r_5_ .S + . 1 



Alors deux cas peuvent se présenter : 



s ,5 + 1 



I I 



s s -\ 



— < r/ < /> < 



oP -1 ^ ^ ^ tA>— l 



Or a et /> apparlieniicnlà A^, _, et B^,_, d'après la définition de P, et par suite 

 on a, dans les deux cas, 



'i'ib)-'^'(^)\-7^,' 



I 



2~ 



d'où il suit en vertu de (2) 



HIi-(6)_ilJ-(rt)|<8|iÇ'- a\. 



ce qui démontre l'affirmation. En vertu de 2", la démonstration du théo- 

 rème est achevée. c. q. v. d. 



2. En second lieu, je signale quelques propriétés de la dérivée asymp- 

 totique. 



Théouème II. — La fonction mesurable f(^x) étant en tout point d'un inter- 

 valle la dérivée asymptotique d'une fonction mesurable ¥{x\ pour que f(^x) 

 soit en tout point de cet intervalle la dérivée exacte deF(x), il faut et il suffit 

 qu on puisse majorer fi^x^ par une dérivée exacte, c'est-à-dire trouver une 

 l'onction ç(x), en tout point dérivée exacte d'une fonction continue $(;») 

 et telle qu'on ait en tout point 



En particulier, /(a;) est la dérivée exacte de F(.r ) si elle est bornée. 



Théorème III (théorème des accroissements finis). — F(j') étant une 

 fonction mesurable possédant en tout point d'un intervalle [«, li\ une dérivée 

 asymptotique finie F^'^(a7), on peut assigner entre a et b un point H Ici (pie 



Il est évident que ce théorème pormet d'affirmer la subsistance pour la 

 dérivation asymptotique d'un grand nombre de théorèmes du calcul diffé- 

 rentiel ordinaire. 



