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OÙ F désigne une fonction arbitraire d'une variable, étant un facteur 



toujours compris entre -= et i . 



Clioisissons la fonction arbitraire F de manière que l'expression (J.F'(/") 

 garde un signe invariable le long de l'arc s et soient M et N la plus grande 

 et la plus petite valeur absolue que prend celte expression le long de cet 



•fit I 



arc. La plus grande valeur de „,, . étant -^î' et la plus petite — ;=, le théo- 



rème commun de la moyenne, appliqué à l'intégrale J, conduit à la propo- 

 sition suivante : 



iJaction J le long de Parc s est égale à la valeur absolue H de la différence 

 de valeurs que prend la fonction ¥(/) aux deux positions P„ et P, , multipliée 



par un facteur toujours compris entre les limites — = et ^ • 

 On a là un théorème de la moyenne relatif à l'action J : 



J=>,H avec — ^<>.$4- 

 Ms/n~ 'N 



Le théorème fournit le moyen de comparer entre elles les actions J et J' 

 présentant une même allure (les mêmes £;;) le long de deux trajectoires 

 arbitraires T et T'. En choisissant la fonction arbitraire F de manière 

 que [/.F'(y') garde un même signe le long des arcs P^P, des deux trajectoires 

 et en désignant par A', M', N' les quantités X. M, N relatives à la trajec- 

 toire T', on trouve 



i'-ii, 



où ^ est un facteur compris entre — ^ et 771^- En particulier : V action le 



long de l'arc 5 = P„P, de la trajectoire naturelle ne peut jamais être plus 



de ^ " fois plus petite que celle le long de Varc 5 = P(,P, d'une trajectoire 



arbitraire de V espèce considérée . Il est, d'ailleurs, manifeste qu'on peut dans 

 ces propositions remplacer (M, M') el (N,N') par la plus grande et la plus 

 petite valeur que prend l'expression [jlF'(/) dans un domaine considéré 

 de l'hyperespace (^r,, ... y^.) comprenant les trajectoires à comparer. 



Appliquons ces résultats au mouvement d'un point matériel libre sous 

 l'action de forces dérivant d'une fonction de forces U, le système de coor- 

 données étant rectiligne orthogonal (ic, j, s). On aura 



J^iPi) 

 ' sli{\]-^h){dx- + dy^+dz') 



