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considérer la série double en x et y comme une série, de séries en y par 

 exemple, et à sommer les séries contenant j. On peut ici faire cette somma- 

 tion pour les séries 



2/1 TT V 



I -I- (— I )""*-' cos ^ ,," = " 



^'' 2^ .-^fiiiY TTTTV fmiiY '^ T 2d n'- + k^n- + r' 



en posant, pour simplifier l'écriture, 



ryib mb pi in y 



a (7 y o b 



Ef2;alons la série en cos:; à une fonction indéterminée c et considérons ses 

 dérivées par rapport à s, r" et j^"; on trouve par addition après multipli- 

 cation respectivement par les constantes /', — /?■, i 



,,iv_ /,-2p"^_ /*,,— i(— l)«+' COS/iS = 0,5. 



En résolvant par les méthodes ordinaires cette équation différentielle 

 linéaire à coefficients constants et en posant < = -;= = — ■;=, on obtient 



n := «I 

 X~l ( — l)""^'COSrtC I , , ;- ■ r> 1 /- 



> -H — —r- — -- — rr rr — -— - + A,,, sh / ; \/'.T sin <« + B,,, sh/; v^^ cos tz ■+- 



n = l _ _ 



-I- C„, cil tz y/2 sin/ î + D„, cil t z sjy. cos tz. 



Les constantes sont déterminées par les remarques suivantes : 



1° La fonction est paire, ce qui entraîne B,„= C,„= o. 



2° En dérivant et en faisant s = Tt, on obtient une relation entre A,„ 

 et D,„. 



3° En multipliant par dz et intégrant de — :: à +~, on obtient une 

 seconde équation entre A,„ et D^. En définitive, il vient 



2 m: Y 



(— i)"+'cos 



-'ii)'*<î)'-'{ 



nV (m riY 

 a b , 



«M 3;: t 



6«î* 2v^ sh'<7rV2 + sin^iT: 



X [(y/a ch/7r\/2 sin^Tî -t- sh<7r v'â^cosiTr) eh / s y/2 cos f^ — 



— (y/a sli ^Tty/a C0S/7: — ch t-!t\F>. sin ^t:) %\\tz y/2 siii /- J '. 



