SÉANCE DU ^2 JANVIER I917. J^I 



Cette formule n'est justifiée que si les séries t^, i>", v" sont ou peuvent être 

 rendues convergentes. Elles possèdent cette propriété, on peut le démon- 

 trer. On peut aussi développer en série de Fourier la fonction à variation 

 bornée du second membre : on retrouve le premier. 



En faisant j- :=o,5b, on trouve — • i en numérateur. Changeons le signe, 

 ajoutons à la valeur précédente et multiplions par (b'' : 3) nous aurons la 

 valeur de l'expression (1). En la substituant dans celle qui a fait l'objet de 

 ma Note imprimée aux Comptes rendus de la séance du 27 novembre 1916, 

 on obtient, pour la plaque uniformément chargée encastrée sur un contour 

 rectangulaire plan, 



El ji-^ 



2 m T. X 

 I 4- (— 1)'"-*-' cos 



i6y/6 Tï'EI jm^ /«''(sli-^Try/a H- sin-<7r) 



X I {\Ji çhln^J"). sin <7i -f- shiTi V/2 cos^tt) (cIi^t: sJi cos < 71 — Q,\xtz\Ji cosf s) ■ 

 — (y/2 shiTT \[% COS tn — chtn\/'i sin/7r) (sh<7î ^^2 sintn — shls \/2 sin t s) \ 



Cette série, rapidement convergente (avec deux ternies on a la flèche), 

 l'est absolument. En effet, pour tout point de la plaque, — t^ <C[ :■ <^ iz , 

 quand m = oo et, par conséquent, l ^^ x, 



(cil ou sli )/7: V 2 (cil ou bh)tZ\/2 

 lim i — ^ — =^ — =z o 



et, pour :■ = -, limite = i . Donc, à partir d'un certain rang, le module du 

 terme général est <](const. -.m^'). De même pour la dérivée par rapport 

 à X ou Y, il est <^(const. : m'-). La série des dérivées secondes par rapport à x 

 n'est pas absolument convergente, puisque le module du terme général tend 

 vers (const. : m). Elle est uniformément convergente à l'intérieur du 

 domaine de la plaque; car en reculant Torigine des x de o,5 a, ce qui 

 revient à compter le domaine de o à a, elle prend la forme 



2 



A,„ 2inr..-V 

 cos > 



A,„ étant fini. Elle est convergente si le coelficient du cosinus décroît cons- 

 tamment jusqu'à zéro et conserve un signe constant ('). C'est ici le cas, 

 en effet : 1'^ il décroit constamment, car en dérivant l'expression (i) par 

 rapport à m, on obtient une série absolument convergente dont tous les 

 termes sont négatifs; 2° d'après sa forme, il a pour limite zéro; 3° A,„ est 

 la somme de la série (i) dont chaque terme est positif. 



(') LiiBESfiLE, Séries trigoiionictriqucs, p. 42. Gauthier-Villars, 1906. 



