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car toute applica lion de cet axiome à la reclierche d'un exemple quelconque 

 amène toujours à une classe d'exemples dont la puissance ( = &') est supé- 

 rieure à celle du continu; or la classe de tous les ensembles (A) a la 

 puissance ( = c) du continu. 



La question posée admet une solution précise et négative : nous avons 

 trouvé, sans utiliseï' l'axiome de M. Zermelo et les nombres translinis, un 

 ensemble (A) tel <|ue son coniplcmenlaire relativement à l'intervalle (o,i) 

 n'est pas un ensemble (A). Cet ensemble ne peut pas être mesurable B, car 

 l'ensemble complémentaire le serait aussi, ce qui conduirait à une contra- 

 diction au théorème I. D'où le théorème suivant : 



Théorème 11. — Il existe un ensemble bien (tèjini (au sens logique et précis 

 du mot défini^ f/ui n'est pas un ensemble mesurable B. 



Enfin, on peut démontrer le théorème suivant qui caractérise Içs 

 ensembles mesurables B : 



TiiÉORÈniF. 111. — Si r ensemble E et son complémentaire (\V, sont tous deux 

 des ensembles (A), ils sont mesurables B. 



4. Applicalions géométriques. — Soit E un ensemble (A) situé sur l'axe 

 des X dont un système déterminant est S = | ^n,,,, „, !• Prenons sur l'axe 

 des y les intervalles û?„,„, „,, définis par les inégalités 



^'/;,/; . . rtf^ - 



> ; V - T^ 1- > ■ 



■ = r 



. / = 1 / = 1 



=] 



Soit D„_, „^ le rectangle ayant ses côtés parallèles aux axes des coor- 

 données et dont les projections sur les axes des x et des y sont respecti- 

 vement o„ „, „^ et «?„,„,. ..„j. Nous appellerons le rectangle D„^„ „j à / indices 

 rectangle de rang k. Tous les rectangles de rang k forment une infinité énu- 

 mérable et sont deux à deux sans points communs; le rectangle D„ „ „j„^^^ 

 est contenu dans le rectangle D„ „ „^. 



Désignons par Q/( l'ensemble de points formé par la réunion de tous les 

 rectangles de rang /■; l'ensemble Q/.n est contenu dans Q/,, donc 



<.',>Q->--->Q/>.... 

 Désignons par Q la partie commune à tous les ensembles (^)/;, 



Q = <.>.•,». •..Q/,.-. • 

 Il est bien évident que Q est un ensemble mesurable B de classe i . L'en- 



