SÉANCE DU 8 JANVIER UJI7. H9 



prenant toutes les valeurs entières positives : 



S— ' o ■ 



Les intervalles du système S forment évidemment une infinité énumé- 

 rable. 



ÎVous posons maintenant les définitions suivantes. Nous dirons qu un 

 point X appartient au sy sterne i ^'W existe une suite d'entiers positifs a,, 

 7.0, . . . , y./., . . . telle que le point x est contenu dans tous les intervalles o^, 

 Ojtj, , . . . , Ojt ,( 3(j, La réunion de tous les points x appartenant au sys- 

 tème S constitue l'ensemble E qui est parfaitement déterminé par le sys- 

 tème S. Nous dirons que ¥. appartient au système S; le système S sera 

 appelé système déterminant de l'ensemiile E. 



Nous appellerons ensemble (A) tout ensemble de points qui admet un 

 système déterminant. 



Tout système déterminant S est déterminé par une infinité ènumérable 

 de conditions; par conséquent, l'ensemble de tous les ensembles (A) a la 

 puissance du continu. 



2. <3n trouve immédiatement, pour les ensembles (A), les trois lenimes 

 suivants : 



Lemme 1. — To'it intervalle (a, h) est un ensemble (A). 



Lemme 2. — Soit E,, Ej, ...une infinité ènumérable d'ensembles (A), 

 leur ensemble-somme E = E, -(- E;, -!- ... est un ensemble (A). 



Lemme 3. — Soit E,, Eo, ... une infinité ènumérable d'ensembles (A), 

 leur partie commune E = E,-Eo-. . . est un ensemble (A). 



De là, le tbéorème fondamental suivant : 



Théorème I. — Tout ensemble mesurable^ est un ensemble {\^. 



Nous avons donc une méthode régulière et uniforme permettant de 

 définir, sans nombres transfinis, tout ensemble de points mesurable B. 



.■}. Une première question se pose avant toutes autres : 

 Tout ensemble (A) est-il un ensemble mesurable B? 



On s'assure immédiatement que la cpieslion est délicate : s'il existe un 

 exemple d'ensemble (A) qui n'est pas un ensemble mesurable B, il doit 

 être trouvé sans l'axiome de M. Zermclo (le Principe du Choix arbitraire), 



G. R., 1917, I" Semestre (T. I6i, N° 2.) Ï2 



