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fixes dans cette déformation. L'ai-r s se laisse ainsi allonge?- au plus \jn fois. 

 Il en est de même lorsque les points caractéristiques P', P', P"', ... se 

 déplacent au cours de la déformation, de manière que la double somme 

 précédente, ne dépendant que des positions de ces points, reste inva- 

 riable (' ). 



On en tire facilement des conséquences relatives aux intégrales finies de 

 la forme 



.4 



/ 



^Mxy^...+f,.{.vy'd.r. 



les /^ étant des fonctions arbitraires de x. L'intégrale se laisse décomposer 

 en une somme de termes 



"■a 



multipliée par un facteur toujours compris entre ^^ et i, les a et ^ étant 



ou bien les limites a et b, ou bien les valeurs de a;, comprises entre a et />, 

 pour lesquelles une ou plusieurs fonctions/} changent de signe. 



Les considérations précédentes s'étendent à des coordonnées curvilignes 

 et conduisent à des propositions du genre de celles qui précèdent pour les 

 longueurs des arcs des courbes tracées sur une surface, l'allés s'appliquent 

 aussi à des problèmes de Mécanique. 



THÉORIE DES FONCTIONS. -- .Sw;- une cléfinilion des ensembles mesurables \i 

 sans nombres trans/inis. Note de M. M. Sousi.iv, présentée par M. J. 

 Hadamard. 



Je me propose ici d'obtenir une propriété caractéristique pour les 

 ensembles mesurables B et indépendante des nombre?; transfinis. C'est 

 M. N. Lusin qui m'a guidé dans mes recherches et c'est à lui tout d'abord 

 que je dois des résultats l'idée ci-dessous. 



1. Théorie générale. — Considérons un système S d'intervalles fermés 

 désignés par la notation générale o„„ „,,, les entiers /■, n,. /2^....,«/,. 



(') Il est aussi facile de fixer des limites d'aliongeiiieiil lorsque les points caracté- 

 ristiques restent constamment sur une courbe, surface, etc. fixe. 



