SÉANCE DU 8 JANVIER I917. 87 



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entre —= et i. L'arc s' est donc au plus \n fois plus long que l'arc .v, d'où 



la proposition suivante : '■• 



On peu/ allonger un arc à allure invariable au plus \ n fois sans en altérer 

 l'invariabilité d'' allure. 



Cette limite d'allongeuient est efFectivement atteinte dans le cas parti- 

 culier où l'arc s, primitivement réduit à une portion de la droite 



£,^;, 4- rt[= £,.Ï2 4- «, := . . .=: £„J'„ + a„ (rt/= consl.), 



est déformé de manière à se confondre avec la ligne brisée formée de n por- 

 tions de droites parallèles aux axes des coordonnées et aboutissant aux extré- 

 mités de l'arc primitif s (résultante de ces n composantes). L'arc primitif 

 aurait alors pour longueur la valeur absolue de l'accroissement fini de l'une 

 parmi les coordonnées à l'extrémité de l'arc, multiplié par \«; pour le 

 nouvel arc la longueur sera ce même accroissement multiplié par n. 



En particulier, on peut allonger rare s d'une courbe plane au plus 



v/2 = i, 41421^ fois, et l'arc d'une courbe gauche au plus v3 = 1,732030 

 fois sans que son allure cesse d'être invariable. Ces limites sont effectivement 

 atteintes lorsque l'arc primitif se réduit à une portion d'une droite faisant 

 l'angle de 45° avec chacun des axes des coordonnées et lorsque le nouvel 

 arc se confond avec la ligne brisée aboutissant aux extrémités de cette 

 portion de droite et composée elle-même de portions de droites parallèles 

 aux axes des coordonnées. 



Considérons maintenant un arc s = PoPi changeant d'allure un nombre 

 quelconque de fois entre ses extrémités. On peut le décomposer en un 

 nombre limité d'arcs continus ou brisés P„P', P'P", P"P"', ... présentant 

 chacun une allure invariable par rapport au système de coordonnées consi- 

 déré. On trouve alors 



oii la double somme est celle des vcdeurs absolues des accroissements finis de 



toutes les coordonnées œ ^ , ..., x,Je long des arcs partiels P„P', P'P", P"P"', 



On voit facilement pour quels arcs l'une ou l'autre des limites de est efl'ec- 

 livement atteinte. 



Déformons l'arc s sans en changer les extrémités et sans que le change- 

 ment d'allure se produise en des points autres que P', P". P'", ... restant 



