8() ACADÉMIE DES SCIENCES. 



extrémité à Taulrc dans un sens déterminé, aucune des coordonnées a\ ne 

 change le sens de sa variation, cliacune d'elles croissant on décroissant 

 constamment le long de l'arc. 



On peut, et cela d'une infinité de manières, déformer et allonger jusqu'à 

 une certaine limite un arc donné aux extrémités fixées et d'allure invariable, 

 sans que l'allure perde ce caractère d'invariabilité. De combien se laisse-t-il 

 allons;ir par une telle dèformadon? 



\\\\ désignant par î/, l'unité affectée du signe invariable de dx,- le long de 

 l'arc s considéré, on aura 



/■('■■' 



s— [ y/2 (e/,f/x/,)-, 



Pj et P, désignant les extrémités de l'arc. L'identité 



= 6^ 



fait voir que la valeur du rapport 



est toujours comprise entre - et i, ces limites étant atteintes, la première 



lorsque les ditïérentielles dx,^ sont toutes égales entre elles, et la seconde 

 lorsque toutes ces différentielles, sauf une parmi elles, sont nulles. 

 Il s'ensuit que l'élément d'arc a pour valeur 



ds = 5— £a-<^J'/o 



étant un facteur compris entre -7= et i. Le théorème commun de la 



V'_" 

 moyenne conduit alors au résultat suivant : 



La longueur de l 'arc s est égale à la somme des valei/rs absolues des accrois- 

 sements que subissent les coordonnées a\, ..., j:,, lorsqu'on passe d'une e.xtrémilé 

 de l'arc à l'autre, cette somme étant multipliée par un facteur toujours compris 



entre — = et 1 . 



\/ n 



Déformons maintenant l'arc s sans en changer les extrémités et sans en 

 altérer l'invariabilité d'allure. Les accroissements des a?,- à l'extrémité de 

 l'arc étant les mêmes que pour l'arc primitif ^, le nouvel arc s' aura pour 

 longueur la somme précédente multipliée par un facteur Ô' compris 



