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entraîne la seconde, vu que'i>(//) étant une fonction à variation bornée, 

 f'{ii) est sommable. 



Notre théorème est démontré. 



Pour r=i, nous aurons évidemment la condition de M. delà Vallée 

 Poussin. 



3. Nous remarquons que la sul)Stilution de/(x) — C pour /(a;) dans la 

 définition de a (m) et l'omission du facteur r ne changent en rien le sens du 

 théorème du paragraphe 2. Mais la formulation nouvelle rend |e théorème 

 encore applicable pour r = o et montre que, pour cette valeur de /■, la 

 condition générale 11 se réduit à la condition classique 2". Ainsi II esl une 

 suite continue de critères^ dont la condition classique 1" est le membre initial. 



4. Notre suite de critères II est telle que tun quelconque de ses membres est 

 compris dans tous les suivants. Pour le démontrer nous emploierons 

 l'intégration par parties et un simple changement de variable en 

 écrivant 



«-'--■/ i'-+'-\f{i)dt-=i(" " ( t':t'--\f(t)\dl 



r" 

 o{t)d: ti-'-w^'\ 



— ©(„) L^ j or i, ()(/!.' '■'. 



Mais si œ (w) est une fonction monotone non décroissante de u, cette 

 dernière intégrale est aussi une fonction monotone non décroissante de ;/. 

 U s'ensuit que si a* (u) est la différence de deux fonctions monotones, l'inté- 

 grale est aussi la différence de deux telles fonctions. Ainsi (p(w) étant une 

 fonction à variation bornée, cette propriété subsiste encore, si dans 

 l'expression pour o(u) nous remplaçons /• par une quantité plus grande 

 (/ + 5)quelconque. 



5. Il est remarquable que, quoique les deux suites 1 et II semblent 

 <Hre tout à fait distinctes, la condition classique i". qui est le premier membre 

 de la suite 1 , est comprise comme cas particulier dans chaque membre de la 

 suite II, sauf dans le membre initial. Ceci résulte d'un changement de 

 variable pareille à celui employé au paragraphe 4. 



(). Si nous avons raison de supposer les deux critères généraux I et II 

 distincts, nous obtiendrons des critères nouveaux, en appliquant l'un des 



