SÉANCE DU 8 JANVIER 1917. 83 



continue de conditions en partant du critère 1°. La condition générale de 

 cette suite est la suivante : 



1. f{u) est une fonclion paire, telle que 



(a) ru-'- f L'-'f{l)dt 



ait, pour une certaine quantité positive r, une limite C, unique et finie, quand 

 u s'approche de zéro ; 



(b) u-'' f Idlf/if)] 



"0 



soit bornée dans un certain voisinage de r origine, pour une certaine quantité q 

 positive ou nulle. 



La somme de la série est alors C. 



Cette suite I, qui a la condition classique 1° pour membre initial, contient 

 aussi la généralisation de la condition que j'avais formulée il y a quelques 

 années; la valeur correspondante de q est i. 



Nous allons voir que la condition classique 2" peut aussi être généralisée 

 et donne lieu à une nouvelle suite continue de conditions II. 



2. La formulation des conditions II se trouve dans le théorème suivant : 

 Posons 



o{u) = ru-'- f l'-'f{t)dl (o</). 



Si 'p(m) est une fonction à variable bornée (c est-a-dire, dans notre cas, si elle 

 est une intégrale), la série de Fourier de la fonction paire f{u) converge pour 

 u = o, et a ç(+ o) pour somme. 



La démonstration est fort simple. Nous n'avons qu'à remarquer que dans 

 ce cas ^' ( u) existe, sauf sur un ensemble de mesure nulle. 

 Par suite 



/(.) = . («) + ^. 



les valeurs de 9'(«) étant convenablement choisies aux points excep- 

 tionnels. 



La convergence voulue aura donc lieu, si les séries de Fourier de cp(") 

 et de Mp'(«) convergent pour m =: o. Il suffit donc que s (u ) satisfasse à la 

 condition classique 1°, etM^'(a)à 2°. Mais la première de ces conditions 



