SÉANCE DU 26 FÉVRIER I917. 353 



à coefficients et indéterminées réels, il convient de substituer le groupe 

 de Picard, formé par les substitutions modulaires complexes 



x — aX + b\, x'=a'X'+ è'Y', 

 v=fX+rfY, y' = c'X' + rf'Y', 



«, I>, c, c? étant des entiers complexes; «', h', c', d' les entiers conjugués 

 ad — bc ^ i . 

 Soient la forme 



et l'équation 



(!') /(=, i)=--«,c" + a,c"-' + ...+rt„ = o. 



On peut supposer a^^o (en faisant au besoin une substitution modu- 

 laire convenable); ses n racines sont :;|, z.^^ ..., 3„. 



On associe à (1) la forme d'Herinite définie aux indéterminées conju- 

 guées X, y, x' , y', 



n 



( 2 ) o = ^ tj )L{x — z,f) — pxx' — qxf — rj' x'y -(- ryy'. 



Le symbole x(j: - -,;v) représente (a; - Ziy){x' — z'^y'), c'est la norme 

 de {x — z^y). Pour toutes les valeurs des ?, on réduira la forme d'Hermite 9 

 et l'on fera dans / la substitution S qui réduit oi <I> = 9?, F =./"S). On 

 obtiendra un ensemble de formes F équivalentes à /, parmi lesquelles 

 seront choisies la ou les réduites équivalentes à/. On désignera toujours 

 cet ensemble par (/)• 



Si l'on marque dans le plan OH-/] de la variable z = l+iTi les points 

 r,, z.,, ..., ::„, et si Ton représente la forme cp par un point 'C du demi- 

 espace O^Y]T (t^o) défini : 



1° Par sa projection sur OHy) dont l'aflixe sera '—; 



2° Par sa distance à l'origine O'C, telle que OC = - > 



les expressions de/?, q, q' , r en fonction des t montrent aisément que, si 

 ces éprennent toutes les valeurs possibles, 'Ç décrit l'intérieur et la surface du 

 polyèdre convexe non euclidien D qui a pour sommets dans le plan O $y] les 

 points s,, =2, ..., z„. Ce polyèdre est parfaitement défini : ses arêtes sont 

 des demi-cercles orthogonaux au plan OHtj en deux points r,, Zj (droites 



c. R., 1917, I" Semestre. (T. 164, N» 9.) 4° 



