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non euclidiennes), ses faces sont des portions de sphère orthogonale au 

 phm OHv] passant par trois des points ^, (plans non euclidiens). Il est con- 

 vexe, c'est-à-dire qu'il n'est traversé par aucune de ses faces prolongée indé- 

 finiment. 



Si n = 3, ce polyèdre se réduit à un triangle non euclidien ; si n =4, à 

 un tétraèdre, ou mcme à un quadrilatère non euclidien si les quatre som 

 mets sont dans un même plan non euclidien, c'est-à-dire sur un même cercle 

 du plan 0\(\. 



D'autre part, réduire la forme 5, c'est faire sur elle une substitution 

 modulaire S 



(,x—a\ + b\, y = c\-\-d\) ou (-= -rr ■/ ) 



définissant un mouvement non euclidien du demi-espace 0^c,Tf. qui trans- 

 forme le point "C en un point Z intérieur au pentaèdre tIo qui est le domaine 

 fondamental du groupe de Picard dans le demi-espace O^yit. En considé- 

 rant alors la division pentaédrique de ce demi-espace et le polyèdre D 

 associé à la forme/, on voit que l'ensemble des substitutions qui réduiront '^ 

 lorsque les t varieront est V ensemble des substitutions qui transforment en -„ 

 chacun des pentaèdres it de la division du demi-espace, avec lesquels D a au 

 moins un point commun. 



Le seul cas où l'ensemble des S et par suite l'ensemble ( /' ) ne compte 

 qu'un nombre fini de formes est celui où toutes les racines de /seraient 

 rationnelles. C'est un cas banal qu'on exclut en arithmétique. On voit de 

 suite que (/) est le même quelle que soit la forme équivalente à / dont on 

 parte. 



On considère ensuite la fonction 



^__ .)b(a„)ô2 



f\tl... tl 



OÙ .)b(rt„) = c^„a', = lNormert„ et o — pr — qq' est le déterminant de 

 Les valeurs des t qui rendent minimum absolu substituées dans o donnent 

 la correspondante de f. La substitution qui réduit cette correspondante 

 réduit f par définition. Tout revient à i'élude des correspondantes (le 

 minimum de s'appelle le déterminant de /; il est le même pour toute la 

 (lasse équivalente à/); deux formes équivalentes ont les mêmes réduites. 

 Pour les formes cubiques et biquadratiques les correspondantes ont des 

 figurations remarquables. 



