SÉANCE DU 5 MARS I917. 387 



sur la surface (1). Ainsi ce polyèdre ne peut atteindre la surface (i) que 

 par des sommets. Soit A un tel sommet, on peut supposer que c'est le 

 point (i, G, o). Nous poserons 



x — lz, y = riz. 



Alors, toutes les substitutions du groupe G qui ont A pour point double 

 sont delà forme E^P'^P'^P"*, où E, P, P , P" sont les substitutions sui- 

 vantes : 



(E) [ï, -a; ^_p„r, + a,e"'«"(r; + (3)J (a -h «„+ (3(3„=o) ; 



(P) ('E,,rr,'c,-hi/t,-n) (/i réel el positif), 



(P') (;, -o; >-,6;,-o + a', -o + p') (a' + a'„+(3'p„ = o); 



(P") (?,•/!;£- K-n + a", r; + 8") (a"+«;; + p"p;; = o). 



De plus, [3': p" n'est pas réel; l'entier Q ne peut recevoir qu'une des 

 valeurs i, 2, Zj? 9 ou 18, ou une des valeurs 3, 6, 12, qui donnent les 

 mêmes substitutions que les valeurs i, 2, /) ; si (^ = i ou 3, on doit 

 prendre a = ^ = o : la substitution E devient la substitution identique. 

 L'entier m ne peut varier que de zéro à Q — i . Les coefficients a, [3, a', |3', 

 a", j3" doivent satisfaire à certaines relations. 



Toute fonction hyperfuclisienne correspondant au groupe G se com- 



porte en A comme une fonction rationnelle de e '' et de Y], ce qui conduit 



au théorème énoncé. Pour e '' =0, ces fonctions se réduisent à des fonc- 

 tions elliptiques de ■/], de périodes <^' et P". 



2. Toute fonction hyperfuclisienne correspondant au groupe peut donc 

 s'exprimer en fonction rationnelle de trois Cou de deux) fonctions hyper- 

 fuchsiennes fixes x, y, ", liées par une relation algébrique. Posons 



-'-yDûTvy -2-.-,, -3-0-,. 



Regardons z,, z.,, z.^ comme fonctions de œ et de j. 11 existe un système 

 complètement intégrable d'équations aux dérivées partielles ( ' ) 



(') Cf. Picard, Sur des fonctions analogues aux fonctions modulaires [Acla 

 mathematica, t, 2), au début. 



