SÉANCE DU 26 MARS 1917. Sog 



tèmes d'équations linéaires à dérivées partielles, je démontrai (' ) que, sauf 

 les cas évidents, une V„. , déformable contient co- S„_3 osculaleurs à deux 

 séries de courbes faisant partie de deux réseaux conjugués : condition 

 nécessaire et suffisante pour la déformabilité de V„^, est que l'on puisse 

 donner à une des surfaces focales une déformation qui conserve conjugué 

 le réseau conjugué et les n — 3 premières courbures des courbes du réseau 

 auxquelles les S„_3 sont osculateurs. 



Ce tbéorème me semble retnarquable parce qu'il réduit le problème de 

 déformer une hypersurface ¥„_, à une question relative aux surfaces V^; et 

 il met en évidence des nouveaux types de déformations. 



3. C'est en poursuivant dans cet ordre d'idées que j'ai été amené à l'élude 

 des applicabilités qui conservent les v — i premières courbures de toutes les 

 courbes d'une surface : applicabilités que j'ai appelées déformations 

 d''espècev {'^). Par cette voie je suis arrivé à des nouveaux tbéorèmes 

 sur les hypersurfaces applicables : le suivant caractérise, il me semble, 

 d'une manière aussi complète que possible tout le cadre de la déformation. 



Une hypersurface^ „^ ^ dé formahle en'è„(^n = 2/ ou 7i = 2/ + i) se compose 

 de oc- espaces linéaires S„_;, cjui peuvent être assemblés, de deux manières dif- 

 férentes, comme les ?i„_.f osculateurs à ce' courbes faisant partie de deux 

 réseaux coujugués : soient <!>,_, et *!*_,, _,j les deux surfaces focales, u le para- 

 mètre variable sur les courbes données de 0,_, et c sur les autres du réseau. On 

 peut passer d'une surface focale à l'autre par une suite de t ransformations 

 de Laplace (^appliquées à leurs systèmes conjugués^; soient 



«i>_(,^,,, ..., a)^,, a>i, .... <!>,_, (« = 30 



ou 



a'.,,^,,, ..., «i)_,, »i%, a),, ..., <ï>,_i (/i = 2< + i), 



les surfaces de la suite de Laplace à laquelle appartiennent les surfaces focales. 

 Les S„_.T de V,,., joignent en chaque point de <!>/, le &,_ o,,./, («= 2Z) ou 

 le S,_ !+/,(« = 2/4- i) oscillateur à la courbe u(^v = const.) (jiiy passe avec 



(') Rend. Ace. dei Lincei, vol. 23, 1914» P- 126. 



(^) J'avais indi(jué l'existence de ces transformations dans ma Noie : Problemi 

 iiuovi di geomelria metrico-differenzlale {Rend. Accad. Lincei^ vol. 2i, 191 5, 

 p. 1193) et j'en donnai la représentation analjtiqne dans l'autre Note: Hasi analiticlie 

 per una leoria dette deforniazioni délie superficie di specie superiore {Rend. Ace. 

 Lincei, vol. 25, 1916, p. 627). Le théorème qui suit appartient à un Mémoire sur ces 

 déformations que je publierai dés que mes obligations militaires me le peimetlront ; 

 on trouvera là les démonstrations nécessaires. 



