SÉANCE DU 26 MARS 1917. 5ll 



et l'on trouve que 



<^,ik— ^Yi^k + \)Y \\n — /.-(- I) r(2/i + 2"/. -h !)!(« — X:+ 2X + i) 



_ g,^,_ 2X[r(/i + 1)]- r(2A- + 2'A ^ 1) r(2» — 2 A- - 2>.) 



^'"'~' r(A- + i)r(2rt + i)r(« — A--M)r(« — A- — 2X4-i)r(A + 2X-i- o ' 



Les a£i.' sont tous positifs; (3;,^, négatifs, sauf le dernier p;,'„'; pour /• et N 

 fixes, on a 



N N 



. lim «1^; = IJm 8'"'' = lim V a''.' =± litn V S','-! = o ; ' 



nu "nu- / i TU y ' "m ' 



nîTTŒi «T^oo ra^ao -^^" n ^ (1 ^^^ 





de plus, il est évident que 'S^oi.'^;' =^PL'' = ' et tout cela suffitpour démon- 



; — Il ; = 



trer la proposition en question. 



Nous allons appliquer le procédé Sx à la sommation du développement 

 de la fonction /(.r) en série de polynômes ultrasphériques 'r|/'(.r) [X > oj, 



.y _ 1 ( I — y- )- 



Du théorème d'addition pour ces polynômes on déduit 



,, + ! 



r-(À) 2-'>T{n + i) 'JL\^i(^) $!?■'(/) — 2T(/i-i-2l) (i — <-)>-' 'i",;"(cosoj) c/^ 



(2) 



[ cos w = xy + < ^( 1 — j;'^ ) ( I — j- )J 

 ce qui transforme la série (i) en 





(3) r2L^"^''-n / ('-/') V(/)('-'-^)'-'^J^i^'(cosoO'//f/^ 



Avant d'appliquer Xx à la série (^3), nous développons la fonction (i+r)" 

 en série (i), en employant pour calculer c„ la formule 



2«+2).-i r(X) r(/( + ,) ?[« + >, -h 1\s^}\y) 





(4 



/N /i-(-y\" /n-cosco\" / w\-" 



■r(À)r « 4-/ 



^ /« { /i — I ) • • • ( 1 — A' -I- I ) 



r(i)r(/(-H2A4-i) ( 



.— ( {/iH-2/.+ l)...(« + 2A+A0 ' '' 



