5l2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



On voit que l'étude, faite par M. Plancherel (•'), des propriétés de sa 

 fonction « L », 



m 



r o\-" 2 ^ 



L(«, w) = / I cos-^ 



^2(cost>) — coscp) 



'■ ■ ^ (aA- -t- i)^/, (cosw) >, 



•{nly-{n-^-i)ï ^ (n-h9.)...{n+k+i) 



était inutile, parce que la formule (4) donne pour X = - le résultat 



^■n , , , sin - fl'© r ( - ) r ( /( -I — ) , 

 L{/i,r„)=/ cos-^ = -p/ ; — ^ cos- 



J„, V 2/ y/2(cOSW — COSCfl) 2r(« + l) V 2, 



Le passage dans (4) à la limite pour A = o fournit le développement 



de (cos-j en série trigonométrique, à l'aide duquel M. de la Vallée 

 Poussin a sommé les séries trigonométriques par son procédé Z„. 

 On a enfin les théorèmes : 



Aa co/wcrgence de la suite S\'^''(x) en un point x ne dépend que des valeurs 

 de la fonction dans le voisinage de ce point. 



lim SJf'(a;) = - [J\x — o) -^ /{x -+- o)] en tout point x où cette expression 



existe; la convergence est uniforme dans tout intervalle compris dans Vinter- 

 valle de continuité de f(x). 



Le second théorème peut être aussi déduit de la sommabilité démontrée 

 des séries ultrasphériques par la méthode des moyennes arithmétiques (-), 

 à l'aide du théorème de M. Gronwall qui a démontré (') que la somma- 

 bilité (C) d'une série entraîne sa sommabilité ]S„ avec la même somme. 



On établit enfin la propriété importante de ce procédé Sx de sommation 

 des séries ultrasphériques que voici : 



La série dérivée de (ï) 



—\'''^ — :r4-^ (A = o, 1, 2, ...; — i<^<+i) 



2 71 ^-^ dœ'' 







est sommable il> vers la dérivée génértdisée d'ordre l'\f'''^{-i')\ de la fonc- 



{') Rendiconli dcL Cire. mat. di Palerinn, t. 33, 1912, p. 48-54. 

 (') Conjples rendus, t. 163, 1916, p. 601. 

 (') CrMe Journal^ l. l'*7, 1916, p. 19. 



