SÉANCE DU 19 MARS 1917. 4^5 



le demi-espace 0^y]t(3 = ? + it], t;>o) décrit le domaine D associé à la 

 forme fçAr notre deuxième méthode. Mais y ayant ses coefficients réels, le 

 polyè Ire non eucli lien D est symétrique par rapport au plan Oçt. De plus si 

 l'on marque dans le demi-plan O^T les points dont les affixes par rapport 

 aux. axes O^t sont précisément a,, aj, .... a^; ^^, (3,, •••, î^vd^,, • • -, ^v sont 

 supposés ici avoir leur partie imaginaire positive) ta section du polyèdre D 

 par le plan 0\~ sera le plus petit polygnne convexe non euclidien contenant à 

 son intérieur ou sur son périmètre tous les points précédents. Ce sera" donc le 

 polygone qu'on est conduit à associer à /par la méthode d'Hermite quand on 

 représente les racines de f dans le plan O^t et non plus dans le plan O^r]. 

 Voici donc un premier lien qui rattache la méthode d'Hermite à celle qui 

 fait l'objet de notre deuxième Note. Il y en a un second. Considérons 

 l'expression dont le minimum nous fournira la correspondante dey, 



(3) Q^-, 705^^^7T^' « = K + 2v, à^pr-c,q\ Sl^{a,)^al. 



11 n'est pas difficile de reconnaître avant toutes choses que le minimum de 

 ne peut avoir lieu que si ul= u'^^^k = 1,2,..., v). Il suffit de grouper dans la 

 forme les termes en u', et m'/ , 



9 =^'^tfJ(,{a;-o'.,y) -h^[uldX,{.r - (3/,7) + u^^ SX,{a.- — ^',y)], 

 1=1 *=i 



et l'étude de montre qu'une condition nécessaire au minimum estM^= u'^^ 

 quel que soit k. Mais alors il est visible que dans la forme cp, q et q' sont 

 égaux et réels. D'ailleurs, si l'on suppose r et y réels, 3 se réduit visiblement 

 dans ce cas à la forme ©, qu'Hermite associe à f 



Si. s, 



i — \ *• = 1 



La fonction 6 précédente {'i) se réduit aussi à la fonction 9 d'Hermite puisque 

 l=pr — qq' =pr — gr% x(«o) = «o et ul = u'^{k = 1,2, ..., v). Il est donc 

 clair que la correspondante associée à f par notre deuxième méthode devient 

 la correspondante d' Hermite lorsque f a ses coefficients réels : c'est-à-dire 

 que son point représentatif '(, dans le plan O^t, est exactement le même (') 



(' ) La vérification est aisée à faire pour les formes cubiques et biquadratiques dont 

 il a été donné, dans les deux Notes précédentes, des figurations géométriques simples 

 pour les correspondantes. 



