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que celui de la correspondante d'Hermite (la représentation, pour cette 

 dernière, étant faite dans le demi-plan analyti(jue O^t, au lieu du demi- 

 plan 0;7j, comme il a été vu plus haut). Il convient enfin de remarquer : 

 i"que le demi-plan O^t découpe, dans la division pentaédrique de l'espace, 

 sa propre division modulaire; 2° que la substitution du groupe de Picard 

 qui amène un point 'Ç du demi-plan O^xdans le pentaèdre fondamental Tto, 

 en conservant le demi-plan 0;r] (-/^^o), n'est autre que la substilution 

 modulaire' à coefficienls réels : 



t = —r, K ( ao — Sy = r, ot, 3, y, ô entiers réels), 



qui amène le point d'affixe '(, du demi-plan O^t, en Z, dans le domaine 

 fondamental D,, de la division modulaire de ce demi-plan. 



Dès lors, il est clair que notre deuxième méthode fournit ici pour / les 

 mêmes réduites que la méthode d'Hermite. Mais elle montre en outre 

 pourquoi il faut choisir, pour la forme quadratique associée à /, des 

 expressions différentes selon les hypothèses qu'on fait sur la réalité des racines 

 de f. Foutes ces expressions différentes se ramènent en réalité à la seule 

 expression 



n 



(2) cp=\ </N(.r — z/y) (les 3, élaiii les racines de/), 



OÙ il faut supposer x et 1- réels. 



De plus, la fonction G dont la valeur minimum est ce qu'on appelle le déter- 

 minant de f, et dont rt'xpression en fonction des racines change dans la 

 méthode d'Hermite avec les hypothèses qu'on fait sur la réalité des rwines de f\ 

 reçoit avec notre deuvième méthode une seule expression (3) en fonction des 

 racines^ quelles que soient les hypothèses précédentes, et c'est la raison pour 

 laquelle ré(}uation qui relie le détermin;uit de /' aux coefficients de cette 

 forme ne dépend nullement des hypothèses faites sur la réalité des racines, 

 comme la définition de ce délerminaat par la méthode d'Hermite pouvait 

 a priori [e faire croire. Hermite avait d'ailleurs constaté le fait précédent, 

 comme l'attestent les lignes suivantes {OEuvres, t. I , p. 9-2) : « On observe 

 cette circonstance remarquable que, pour chaque degré, c'est toujours la 

 même équation en D (') qui vient s'oll'rir, bien que les calculs par lesquels 

 on y arrive dilTèrent beaucoup suivant le nombre des racines réelles et ima- 

 ginaires; mais je n'ai pu jusqu'à présent découvrir la raison générale de ce 

 fait important. » 



(') I) est la racine carrée du déterminant, 



