SÉANCE DU 19 MARS 1917. 4^7 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions hyper fachsiennes. 

 Note de M. Georges Giraud, présentée par M. Emile Picard. 



1. Clierchons les groupes formés des substitutions qui conservent un 

 point intérieur à l'hypersphère 



(i) xx^-^yy„—zz^ — o, 



conservée par les substitutions hyperfuchsiennes considérées. On ne 

 diminue pas la généralité en supposant que le point fixe soit (o, o, i). Les 

 substitutions cherchées sont du type 



{x, y, z ; ax + by , ex + dy^ gô''") ; 



les substitutions [^,(,rt^ + ^) : (cH + d)\ forment yn groupe isomorphe au 

 groupe cherché et formé d'un nombre fini de substitutions : c'est donc un 

 groupe cyclique ou l'un des groupes du dièdre, du tétraèdre, du cube ou de 

 l'icosaèdre. A la substitution unité de ce groupe correspond dans le groupe 

 cherché les puissances d'une substitution (r, y, s ; ^e'**, )'e'\ se~-'''), où : -îî 

 est rationnel ; la recherche se termine facilement. '' 



2. Suoposons qu'à un groupe hyperfuchsien G corresponde une fonc- 

 tion ne pouvant se prolonger au delà de l'hypersphère. Admettons encore 

 que le groupe G possède une subslittition elliotique à plan double pénétranl 

 dans V hypersphêre ( ' ) 



(2) (x, y, z; .Te'^ ye~-'K ze'^). 



Alors le phm double y = o est transformé en lui-même par une infinité 



de substitutions 



{x, y, zx ax + //;, /e"", ex -+■ dz) 



de G, de façon que les [^,(a^H-^) : {^c\ + d)\ forment un groupe fuch- 

 sien r de la première, de la deuxième ou delà sixième famille de Poincaré. 

 Le polyèdre fondamental de G formé par la méthode du rayonnement 

 découpe sur 1' = o le polygone fondamental de F formé par la méthode du 

 rayonnenient. Pour x=o, les fonctions hyperfuchsiennes se réduisent à 

 des fonctions fuchsiennes. Ky == o correspond pour le système d'équations 

 aux dérivées partielles considéré dans la dernière Note que j'ai eu l'honneur 



(') J'ai dû étudier complèlemeiil la classilîcalion indi([iiée par MM. Poincaré el 

 Picard {Comptes rendus, t. 98, i884, p- 349 ^^ 4'^' 



