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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les hypersur faces dèformahks dans un espace 

 euclidien réel « «(> 3) dimensions. Noie (' ) de M. E. Bompiam. 



1. M. Gartan vient de publier un Mémoire (-) sur l'objet indiqué, qui 

 me donne l'occasion d'ajouter quelques mots sur le côté géométrique de la 

 question. 



Il y a déjà une bibliographie assez intéressante, bien que pas très vaste, 

 sur les hypersurfaces déformables. Après la constatation négative de 

 M. Killing (') sur l'indéformabilité en général, des résultats positifs ont été 

 obtenus par MM. Fr. Sxhur ('), Blanchi (^) et Sbrana ("). Celui-ci trouva 

 que, omis les cas les plus évidents, les c„_, déformables de S„(« > 3) con- 

 tiennent oc- S„_3 et sont de deux espèces : 



a. Hypersurfaces dont la déformation se reporte à l'intégration d'une 



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équation de Moutard . + y/= o avec un groupe de n solutions qua- 

 dratiques; ces hypersurfaces admettent ce' déformées qui dépendent d'une 

 quadrature ; 



h. Hypersurfaces qui admettent une seule déformée : elles dépendent 

 d'une (particulière) équation de Laplace. 



C'est la classification retrouvée (omis les cas simples) par M. Cartan. 



M. Sbrana démontra aussi que pour n ^ 4; 5, G, les ce'- S„_3 de V„_, sont 

 osculateurs à deux différents systèmes de courbes appartenant à deux 

 réseaux conjugués qui se conservent tels après la déformation de V,,.,. 



On était encore bien loin d'avoir un théorème général sur les V„_, 

 déformables et l'on ne pouvait pas dire si l'applicabilité des surfaces focales 

 était nécessaire et suffisante (et elle ne l'est pas, pour n^/j) pour la défor- 

 mation de V„_,. 



2, Par les méthodes projectives et l'interprétation géométrique des sys- 



(') Séance du 12 mars 1917. 



(■-) Bull. Soc. mathém,, t. 4i, 1916, p. 65. 



(') Die Nicht-Eiiklidischen Rauniformen in analytischer BeliandlungÇVeuhacr, 

 i885). Voir aussi Bianchi, Lezioni di Geometria Differenziale (l'isa, 1902). 



(') Mathern. Annale/i, Band '28. 1886, p. 343. 



(^) Memorie Soc. ital. délie Scicnze^ 1. 18, igoS, p. 261. 



(/) Rend. Circolo rnalein. di Palerino, t. 32, 1909, p. i, el Annali di Malema- 

 tica, t. 15, p. 329. 



