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((ui admet les intégrales :■,, z.^, z-^; a, a', l>, ù' , c, c', c" sont des fonctions 

 rationnelles de a:, y, it. Ces coefficients ont des lignes singulières 



(2) 6(.r, _r) — o. 



Aux sommets tels que A correspondent des courbes (2) de genre un au 

 maximum ; les autres courbes singulières sont unicursales. 



3. Toutes ces courbes singulières sont régulières, c'est-à-dire que, si l'on 

 change de variables indépendantes en posant 



de manière que l'équation d'une de ces courbes devienne \ =0, et si A, 

 A', . . ., C" désignent ce que deviennent alors a, ci, . . ., c", les fonctions A, 



r» 



C, Y' A'Y, C"Y,B'Y-, C'Y- sontholomorphesenXetYsurlacourbeY=o, 

 sauf en des points exceptionnels. 



Cette notion de régularité se rattache à la proposition suivante : consi- 

 dérons le système complètement intégrable de w« équations à m fonctions 

 inconnues de n variables, 



1=1 



si tous les «, A,,, sauf pour /c = n, et les produits x„a,„i sont holomorphes 

 sur une région de la surface j-„ = o, toutes les intégrales du système 

 sont des combinaisons linéaires de m d'entre elles où les :;, sont de la forme 



.V = /. 



y^,'r'„'cp^(x,,.r.,, . . ., j?„)(l(igx„)% 



i = 



les Çi étant holomorphes. La démonstration repose sur la comparaison des 

 intégrales du système donné à celles d'un système analogue où les o,^, 

 (A :^ n) et les •z:„a,„, sont constants. 



4. Un cas particulier intéressant est celui des fonctions hypcrfuchsiennes 

 considérées par M. Picard, qui proviennent des fonctions hypergéomé- 

 triques de deux variables ('), dans le cas où les dix expressions telles que 

 b, -\- b-2 — J el -2 — />, — h., — X sont des inverses de nombres entiers positifs 



(') Picard, Annales de l'Ecnle Normale mpérieure, 1880. (Prière de s'y reporlei' 

 jjoiir les nolalions. ) 



