SÉANCE DU 5 MARS 1917. 289 



OU infinis. Comme entre ces dix entiersa, [^,7,0, ... on a dix relations telles 

 que 



3 I I I 



a 3 y G 



le nombre des cas possibles est limité. 



Comme on peut le voir dans un travail de M. Picard ('), la proposition 

 sur la régularité des courbes singulières du système d'équations aux 

 dérivées partielles est vraie également pour ces fonctions. Ici les courbes 



singulières sont toutes unicursales. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Nombre caractéristique et rayon 

 de convergence. Note de M. Emile Cotto.v, présentée par 

 M. Emile Picard. 



M. Liapounofîa fait correspondre un nombre caractéristique fini ou infini 

 à toute fonction y(^) réelle ou complexe de la variable réelle t. Ce nombre 

 est la borne supérieure des nombres réels \ tels que e^-'/(t) tende vers 

 zéro quand t devient infini par valeurs positives. 



Observons que cette définition est applicable sans que la fonction soit 

 donnée pour toutes les valeurs de / ; on peut considérery(f) comme définie 

 seulement pour les nombres t d'un ensemble E non borné supérieurement. 

 Prenons alors pour K l'ensemble des entiers n, et écrivons rt„ au lieu 

 de/(«). On voit immédiatement que le nombre caractéristique de a„ est égal 

 au logarithme du rayon de convergence de la série de Taylor^a^x"^ associée 

 à la suite a„. 



Nous allons indiquer ici quelques propositions suggérées par ce rappro- 

 chement entre deux notions importantes. 



1. Tout d'abord, certains théorèmes relatifs aux séries de Taylor sont 

 des cas particuliers de propositions de M. LiapounofT indiquées dans ce qui 

 suit par des renvois à la traduction française que M. Davaux a donnée (^) 

 de son Mémoire fondamental : Problème général de la stabilité du mou- 

 vement. 



{') Picard, Annales de VEcole Normale supérieure, l88l."^'oi^ aussi Appell, 

 Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3= série, l. 8, p. 1882, 178, et t. 10, 

 1884, p. 407- 



(') Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 2" série, t. 9, 1907. 



