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Le lemme IV (p. 22G) donne la proposilion connue concernant le rayon 

 de convergence de la somme de deux séries de Taylor; du lemme V (p. 227) 

 on déduit : Le rayon de convergence de la série "La^b^x" n'est pas inférieur au 

 produit des rayons de convergence des deux séries la„x", ^b„x". Nous n'in- 

 sistons pas, car MM. Hadamard et Bore! ont étudié d'une façon appro- 

 fondie celte opération sur les séries. (Voir le Chapitre VI de l'Ouvrage 

 de M. Hadamard : La série de Taylor et son prolongement analytique .) 



Les résultats suivants, conséquences des lemmes VI et VII (p. 227), me 

 paraissent nouveaux. 



Pour que les rayons de convergence, supposés finis et différents de zéro, des 



séries So„.x" et ^ — soient inverses l'un de l'autre, il faut et il suffit 



que \J I a,, | tende vers une limite quand n croît indéfiniment . 



Si les rayons de convergence des séries 'E.a„x" et y - — sont inverses Vun 



de Vautre, le rayon de convergence de La„b„x" est égal au produit des rayons 

 de convergence des séries I «„a"" et S b^x". 



II. Le rayon de convergence de l'ensemble de plusieurs séries de Taylor sera, 

 par définition, le plus petit des rayons de convergence de ces diverses 

 séries. 11 correspond au nombre caractéristique d'un groupe de fonctions 

 (p. 229), utilisé dans l'étude des systèmes différentielles linéaires. 



L'analogue d'un tel système, composé par exemple de deux équations du 

 premier ordre, sera pour nous un ensemble de relations de récurrence 

 (autrement dit d'équations aux différences) linéaires 



(i) J',-M=a/V,+ (3 ,:;,■, 5,+i = y,j/-t- ô, i,- ( ('= o, i, 2, . . .), 



déterminant de proche en proche les termes des suites 



(2) 7«,.>'i,y2, •••. -0, --,, -2, — 



Les nombres a,, p,, y,, 0,, censés connus, varient en général avec l'indice i. 

 INous supposons leurs modules inférieurs à un nombre M, ceux des déter- 

 minants a,p, — S,y, supérieurs à un nombre positif /n. La solution générale 

 du système (i) dépend des constantes arbitraires y„:;(, et peut s'exprimer 

 linéairement en fonction de deux solutions particulières. 



Toute solution (2) du système (i) {autre que la solution t, = :, =-- o écartée 

 dans ce qui suit) donne naissance à deux séries de Taylor "Uly^x', Ss, x' dont 

 l'ensemble a un rayon de convergence Kfini et différent de zéro. 



