SÉANCE DU 5 MARS I917. 3r)î 



Nous n'avons plus maintenant une conséquence de la proposition ana- 

 loo-ue (Théorème I, p. 229) de M. Liapounoff. Mais la démonstration se 

 fait aisément dans le cas des éléments réels (auquel se ramènent les autres 

 cas) en déterminant deux limites entre lesquelles reste compris le 



rapport %^^. 



// ne peut exister plus de deux rayons de convergence distincts pour T en- 

 semble des deux séries de Taylor associées aux diverses solutions de(i) {'). 



III. La notion de syslème normal de solutions les théorèmes qui s'y rattachent, etc. 

 (p. 233 et suiv.) ont leurs analogues dans la théorie actuelle. 



lien est de même de l'application des nombres caractéristiques à l'étude des solu- 

 tions asymptoliques : je montrerai ultérieurement comment on peut appliquer les 

 équations (i) à l'étude d'équations analogues mais non linéaires, en cherchant les 

 solutions voisines d'une solution connue. On étend ainsi aux équations de récurrence 

 à coefficients variables une partie des intéressants résultats obtenus par M. S. Lattes 

 {Bulletin de la Société mathématique de France, T91 1 ; Annales de Toulouse, 191 i) 

 dans le cas particulier des é([uations à coefficients constants. 



IV. Considérons un système différentiel linéaire 

 (3) g^^j + 7., ^-^,y + .., ^ 



dont les coefficients /;, 17, /•, s sont fonctions continues et bornées de la 

 variable réelle /. Les fonctions y, = formant une solution de ce système 

 prennent pour des valeurs de t en progression arithmétique 



tz=i m (<=r 0, I, 2, . . .) 



des valeurs que j'appelle _r-,i =n formant une suite (2). Elles sont liées les 

 unes aux autres par des relations de récurrence de la forme (i); les coeffi- 

 cients a,-, Y/ et ji,-, 0; sont les valeurs pour t =^ (;'+ i)T des solutions de (3) 

 prenant respectivement pour / — j'T les valeurs i , o et o, i . 



Le nombre caractéristique de la solution y, z est = logR, R étant le rayon 



(') Cf. Théorème II, p. 232. Voir aussi le célèbre Mémoire de H. Poincaré paru 

 en i885 dans le Tome 7 de V American Journal of Mathematics. Les coefficients des 

 relations telles que (i) y sont supposés fonctions rationnelles de ('. 



Nous aurions pu évidemmenl prendre un nombre quelconque /) de relations (i) et de 

 suites (2); le nombre maximum des rayons de convergence distincts eût été p. 



