&ÉANCE DU 5 MARS 1917. ^gS 



2. Il n'y a aucune difficulté à préciser la valeur de : en un point ordi- 

 naire ou singulier (a, h) de o, si aucune des deux courbes '^(x, y) =^0, 

 X{x, y) = o ne passe en (a, b). A un tel point correspond un point (a, h, z) 

 de r, où r a une singularité analogue à celle que cp possède en (a, b); il ne 

 peut y avoir exception que si F a en (a, b, z) un point singulier avec plu- 

 sieurs branches de courbes dont les tangentes soient dans un plan parallèle 

 à Oz. 



3. En un point simple (a, h) de o, où :{/ a un point simple, mais où ne 

 passe pas y, z n'a que la valeur zéro; en un point simple de o, où 'h ne passe 

 pas, mais où passe /, s n'a qu'une valeur, elle est infinie. 



En un point simple (a, b) de cp, où |, / ont l'un et l'autre un point 

 simple, :; n'a qu'une valeur, finie si <\/, y ont avec a> un contact de même 

 ordre; si y a un contact d'ordre n — 1 aveco, si y a un contact d'ordre p~ i 

 avec ^, z est nul ou infini selon que n — i <^ p — \ ou n — i >/> — t . 



Soit, en effet. 



(?) 



Y — b z:^ x^{x — a) + a.^{x — a)'- -^ a.:i{x — a)'H- . . . 



l'équation de la courbe 9 et, aux environs de (a, b), pour un point {x, y) 

 de çi 



<\i[x. y) = !^^,(x — a) + l^,^{y - A) + (3,, (.r - rt )- 



-1- |3,,( J.' — a) (.r — 6) + %,{y -bY+ ^3, (.r — af -^ . . . 

 = (t3n-+- (3i2«i)(J? — '"') + {|3-2i-H (3,.,a,-4- 3,2 «2-1- [323 «?)(•'■ — «)- + ■• • ; 

 X^^'^ y) = 711 (-«^ — (() + 7i2{ J —/>)-+- y,, (>•!■ — «)'-!-.. . 



= (yn-H7i2 0£i)(-r — «) -H (721-+- 722 3(i + 7i2 «2-1- 723^1 )(-i' — «)--!-. .. (') ; 



les coefficients de quelques-unes des premières puissances de (^ — a) 

 peuvent être nuls dans ces expressions de 1/ et de y, ce qui implique des 

 contacts avec (p. Si 



l{x-a)\ 



on aura 



= c,, 





(c,, C,;z£ o et p^ og), 



ce qui justifie la proposition énoncée. 



(') Aucune des tangentes à tp, i];, ;^ en («, b) \re<\. parallèle aux axes; on v pourvoit, 

 s'il y a lieu, par une rotalion de O.ry. 



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