394 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



4. Examinons ce qui se passe en un point double, à tangentes distinctes, 

 (a, b) de cp. Aux environs d'un tel point, ç est représentée, selon la branche 

 où se trouve r, par l'un des deux développements 



(3) 



) r — 6 = a,,(.r — a) -+- œ,,(,r — «)-+ c>:3i(.r — rt)^- 

 \ y — 6 rz: o!|,(j; — «) + ot,., (.r — ay -h a^^ix — a)'- 



■|, •/ ont la même forme que précédemment 



4;(.r, r) = (3,,(j:' — rO + Î3„(J - 6) +. . . . 



(4) 



X(x, y)=^ y,,(j? — a) + ytiir — />)+..., 



où (y — b) doit être remplacé successivement par les développements (3). 

 Si, (x, y) étant un point de la première branche de o, on a 





{x — a)i'' 



(c,, et c-2i;z:o el ^oo). 



ce qui implique des contacts respectifs d'ordres /î, — i, yo, — i entre '^, y et 

 cette branche de cp, la valeur s, de z est nulle, finie ou infinie selon que 



«1 — i<^i — I, «,— 1=/;, — I, /(,— r>yj,— I. 



Si, (.r, y) étant un point de la seconde branche de o, 



/(-^i y) 





(.r-rt)'^ 



(Ci2 et Cj,=z£ o el 57^00), 



c'est-à-dire si '^, y^ ont des contacts d'ordres n., — 1, p.,— i avec cette 

 branche de cp, la valeur z., de z est nulle, finie ou infinie selon que 



i< />. 



I— /'2-', 



/(2— I >/'2 — I. 



La courbe F a donc deux points (a, b, z,), (a, b, z.,) sur la parallèle 

 à- Os menée par (a, /;) : F « un pur ni double apparent sur celte droite. 



Toutefois, ces deux points sont confondus si ]> et y , non tangentes à ç», sont 

 tangentes l'une à l'autre. On peut en eirel écrire, dans ce cas, selon la 

 branche de ç, où se trouve (ce, y), 



'lil^. 7) = (Pii+(3i'i«ii)(-f — «)-t-(P2,-+-(322an-t-|3i2a2i-+-S23a^)(.i' — «)'-t-. .., 

 •/.,(j;, j) = (-/i,-f-y,2a,,)(-2' — «)H-(y2i -1-72.. 3!|,-f-P|., «2,-1- [323«'J,')('2J— «)'-)-■ • -1 

 ']^3(-î^> j) = (pii-HP,2ai2)(-r — a)H-..., X2(-'-. j) = ("/u + yis^iî) (-J^ — «)+••• , 



et, les coefficients de (.x — n) n'étant pas nuls, on aura (a,,^ a,,) 



Xi(" 



y) 



_ (3iiH-(3|2at|2 . 



