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on arrive après une nouvelle intégration par parties à l'expression 



IN=«î — sinA'» 7, — / I 9. — — arc sin u 



•' ^ J-^ l \rr=^i 



cos 2 in(i/ — I ) du 



VU- « . , , , 



—=^ sin 2 /Il (u — I ) ail . 



_ 1 V' — « 



La première intégrale figurant dans le second membre de celte é^galité 

 est la partie réelle de J. La seconde a pour valeur le coefficient de i dans la 

 suivante, 



r 



\Ji — a 



On écrit, comme ci-dessus, 



et l'on applique la formule (4i) de mon Mémoire (loc. cil.) à chacune des 

 intégrales rentrant dans le second membre. A cet effet, on part, pour 



évaluer / , du développement 



V' — " Lv2 4v'2 J 



et, pour évaluer l'intégrale / , du développement 



, — (""') -hv 'i + -^ (•« — ')+■•• . 



\/i — (/ L I J 



les binômes «/ -i- i et u — i étant affectés chacun de leur plus petit argument 

 positif. Finalement on ti ouve 



'^m \J -iT. m — -^sji-Km 4- . . . , 



le produit par \'i~m des termes négligés, dans le second membre, restant 

 Uni lorsque m augmente indéfiniment. 



3" L'intégrale P se ramène à une somme d'autres qui se traitent par des 

 moyens analogues à ceux dont on vient de faire usage. Par des intégrations 

 par parties successives, on s'arrange de façon que les éléments différentiels 

 soient de la forme 



!•"((/) sin 2«« ( M — \)da nu V { n) cosn m {ii — i)clii, 



