SÉANCE DU 7 MAI I917. 717 



Pour le faire voir, remarquons que, d'après la formule générale de 

 Parseval, on aura 



(4) V(/-,r/,a, (3)=:21^«''«?""'"'^"'"'- 



La série (i) ayant son rayon de convergence non nul, l'expression ['yj'/^nl 

 reste, pour toute valeur de l'indice n, inférieure à une certaine puissance 

 entière, positive, finie et fixe de 10, par exemple à lo""^, de sorte que 



(5) £„>>„< 10'"'. 



Le nombre de chiffres composant l'entier À„ est alors au plus égal à fin 

 et, en désignant un tel chiffre composant par X|f', on aura 



(6) e„Â„ = >,L""'>i„""-' ...Àj.^'X;,". 



où les chiffres significatifs de rangs le plus élevés peuvent être remplacés 

 par des zéros. Nous désignerons l'expression (6) sous le nom de valeur 

 arithmétique complétée (/e X„. 



Prenons pour r une puissance entière négative io~'' inférieure à R (on a 

 toujours R ^ i), pour y la valeur numérique o, i et pour a et [3 deux valeurs 

 telles qu'on ait 



d'où 



n{n -h i) 

 xn-+ pn := /i, 





Avec ces valeurs on aura 



P„_, zrrcis 

 OÙ 



P„= 1 ^ 



et, par suite, 



V ( /■, y, a, |3 ) = o, XI'" >;'•-" . . . l[^' XI" V^f-nj'' ' . . . Xi" X'''^' XJ"»-" . . . Xi' X;-'" . . . , 



d'où le résultat suivant : 



L'intégrale V(r, y, x, ^) a pour valeur numérique zéro suivi, comme partie 

 entière, de la partie décimale qu on forme tout simplement en rangeant bout à 

 bout les valeurs arithmétiques complétées des coefficients successifs X , , À^ , X, , . . . . 



