7lH ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Considérons, dans la suite naturelle de nombres entiers, les intervalles 



numériques A,, A,, A3, .. ., l'intervalle A;t commençant par l'entier —^—^^ h 



et unissant par I entier -h. 



La /«"■'"* {jn = 1 , 2, 3, . . . ) décimale de V est égale au 



A- ( /, + I ) , 



— -— h — /)? + I 



)" 



chiffre de la valeur arithmétique complétée du coefficient \f^ ayant Vindice de 

 Vintervalle A/, contenant rentier m. 



En connaissant donc ni premiers coefficients A, ...a,„ de /'(.'), on aura 

 ainsi, sans aucun calcul supplémentaire, la valeur numihnque de l'intégrale V 



7/1 ( 7M + I ) ( 2 //( -h I ) +• 3 «! ( «1-4- I ) , , , . I 



avec — ^ ~ — — — // décimales exactes. 



] 2 



L'intégrale V peut d'ailleurs être remplacée par diverses autres qui lui 

 sont équivalentes et dont on pourra ainsi déterminer chaque décimale indu't- 

 duellement. Telle serait, par exemple, l'intégrale réelle suivante, où l'inté- 

 gration ne porte que sur une combinaison de/(.r) et de e'^ : 



— / e~''F(r(/Pcosfj. /, ir/'i^ sintj./) dl, 



IT. Ji, 



où F(a^, y) désigne la partie réelle àe. f{x +.W) et où tj. est la constante 



jn -^rz 2y/log liai 10 \l y., 



les quatre constantes r, q, a, [i ayant les valeurs précédentes. 



Déplus, les considérations précédentes s'étendent aux intégrales (3) dans 

 lesquelles la fonction entière '/(a?) se trouverait remplacée par d'autres 

 fonctions entières de r définies par le développement 



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 où ly = O5I et où les M,^ sont des entiers positifs supérieurs à — ^^ h. 



