SÉANCE DU l4 MAI 1917. 779 



On établit, en se servant de la formule approximative pour '!'',( cosO), le 

 résultat fondamental que voici : 



RJf " (a;) /jow — 1-+- t^x'Si — £(î>o) sonl toutes unifvrmèinent bornées^ 

 si 0^ o. 



' Ce résultat et les inégalités 



|Sr'(^',0|< 



( '' + 1 )'' I ■'■ — ' r^"-' W{t ~x'}{i-/'}f\ 



s;f.>..(a.,ol<- ^'^^"^■)'^' . ^» 



permettent de démontrer le théorème suivant : 



THÉoriÈMii C. — La série (I) est sominable (C, o << <; 2 A) avec la 

 somme f{x) en tout point intérieur — i < r <;+ i de continuité de /{.r), si 



les /'onctions (1 — x'-) '\/{x)\ et ( i — a'-) " |/(<)| '>onl intè^rables 

 dans V intervalle (—1,4-1); la sommabililé est uniforme dans r intervalle 

 intérieur à l'intervalle (—1, -I- i) et compris dans l'intervalle de continuité 

 dej{x). 



Les fonctions 2"*(i — x)-'-^ et 2'"-' [( 1 — xy^^ -{- (i + x)~"' \ nous four- 

 nissent des exemples qui illustrent les théorèmes B et C; on voit sans 

 peine que la première pour 2 w ^ A -1- i ne remplit pas la condition (c) au 

 point .r == — I et sa série (I) 



?>r(},) 





[x-xr y(-\vu' ^ 2/^r,« + n-o.A-&.) "^ ' ^" -^ ■ . 3 



pour 2(0^1-1-0 n'est pas sommable (C, X<;o<;2À) au point de conti- 

 nuité de la fonction développée x ^= — i ; de même, si Ton a soin de 

 choisir 2co>À -i- -|- i pour chaque valeur de S <| A, la fonction 



2'"-'[(i — .r)-'"-l- (i -hx)-"^] 



ne satisfait pas à la condition d'intégrabilité dans (—1, -i-i) de 



(i — J?-) - |/(jî)| et sa série (I) n'est sommable (C, 0) dans le cas 

 de o<;a en aucun point intéi'ieur — i<ir<+i, tout en l'étant pour 



Ainsi le problème de sommation des séries ultrasphériques par la 



