780 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



méthode des moyennes arithmétiques, posé en irjr i par M. N. Nielsen ('), 

 est complètement résolu. 



ANALYSE MATHÉMATIQUïf. — Théorèmes arithmétiques sur l'intégrale 

 deCauchy. Note de M. Micbel Pétrovitch, présentée par M. Hadamard. 



Soil/(=) une fonction analytique, holomorphe à l'intérieur d'une circon- 

 férence G de rayon R ayant le point z =z a comme centre. Considérons 

 l'intégrale 



(>) 





prise le long d'un contour fermé compris à l'intérieur de C. 



Chaque fois que I„ a pour « =- 1, 2, 3, . . . des valeurs entières réelles ("), 

 on peut tes déterminer toutes à la fois par des considérations arithmétiques 

 simples à l'aide de la valeur connue d'une certaine expression numérique at- 

 tachée à la fonction f{z) . 



Pour le faire voir, remarquons que l'on a 



(2) ■ f{a+z)~f{a)^\,z. + \,z'+hz-'+... 



et que par suite on aura le résultat suivant découlant de ce qui a été trouvé 

 dans une Note précédente (') : 

 Formons l'intégrale définie 



(3) W(,-,7, «, P)=-l- r [f(a + re'')-f{a)\yXe-")dl 



qui n'est autre que l'intégrale V(r, q, o., jii) de la Note précédente après y 

 avoir remplacé sous le signe de somme 



/('■«"■) -/(o) par /(« + ,.e")— /(«), 



la fonction /(:;) et les quatre constantes r, q^ a, [i étant les mêmes que 

 dans V(7-, y, a, fl), la constante h (à l'aide de laquelle se déterminent a 



(') N. NiKLSEN, Théorie des fondions nulasiiliL'rijues, Préface, \>. vu. Paris. 1911. 

 (*) Les considérations qui suivent s'élendenl au cas des !„ entiers conjplex.es. 

 (■') Sur quelques expressions numériques remarquables. Comptes rendus, l, 164-, 

 , 917, p. 716. 



