SÉANCE DU l4 MAI 1917. 781 



et p) étant un nombre positif, fini et fixe, satisfaisant à la condition 



(4) val. abs. I„< io''« 



dont l'existence est assurée par la convergence même de la série (2). 



Désignons, comme dans la Note citée, comme valeur arithmélique com- 

 plétée de I„ la suite de chiffres composant I„ précédée d'un nombre de zéros 

 égal à la différence entre hn et le nombre effectif de chiffres de I„. 



L'intégrale WÇr, y, a, (3) aura pour râleur numérique zéro suivi, comme 

 partie entière, de la partie décimale qu'on formera en rangeant bout à bout 

 les valeurs arithmétiques complétées de la suite des !„('). 



Désignons par H^ l'entier composé du groupe de décimales de W com- 

 mençant par le premier chiffre significatif qui suit la - — '■ A"""' et finit 



parla ^ ^//.décimale. 



Chaque fois que l'intégrale l^apour n = i, 2, 3, . . . des valeurs égales à des 

 nombres entiers réels, la valeur absolue d'une intégrale quelconque l„ coïncide 

 avec l'entier H/, de même rang. 



Ainsi la fonction /(=) étant exprimée par exemple en termes finis, ou 

 bien donnée par une intégrale 'définie .'impie ou multiple, ou bien comme 

 intégrale d'une équation difl'érenlielle, etc., il suffit de calculer la valeur 

 suffisamment approchée de la seule expression numérique W pour avoir du 

 même coup, et sans aucun calcul supplémentaire, les valeurs exactes d'autant 

 d'intégrales I,, L, T,, . . . qu'on voudra. 



L'intégrale W peut d'ailleurs être remplacée par diverses autres qui lui 

 sont équivalentes. Dans certains cas elle peut même être remplacée par des 

 expressions formées à l'aide de la fonction /(=) par des opérations arithmé- 

 tiques élémentaires, jouissant de la propriété remarquable qui se rattache 

 à l'expression W dans le cas général. Formons, par exemple, l'expression 



(5) /(« + 10-^) -/(<') -T:;^ 



où M et N sont deux entiers positifs. 



Chaque fois que Vintègrale I„ a pour /î = i, 2, 3, . . . des valeurs égales à 

 des nombres entiers compris entre deux nombres positifs fixes, il existera deux 



{') Voir la Note citée. 



