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COURESPOIVDA.\CE. 



M. le Ministre de la Guerre fait connaître à l'Académie les nonris des 

 Membres de la Mission scientijîcjtie française qu'il a décidé d'envoyer aux 

 Etats-Unis. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les substitutions rationnelles. 



Note (')de M. P. Fatou. 



Lorsqu'on fait l'itération d'une substitution définie par la relation 

 Z = 0(3), où 0(5) désigne une fonction rationnelle de la variable com- 

 plexe z et qu'on cherche à délimiter les domaines de convergence corres- 

 pondant aux différents points limites que peut posséder la substitution, on 

 peut avoir à envisager des circonstances compliquées qui font apparaître 

 comme très difficile la solution générale de cette question. 



Il est donc intéressant de signaler une classe particulière mais déjà assez 

 étendue de fonctions rationnelles pour lesquelles le problème peut être 

 entièrement résolu. Ce sont celles qui possèdent un cercle fondamental, 

 c'est-à-dire qui transforment en eux-mêmes le contour et l'intérieur dun 

 cercle. 



On peut, au moyen d'une transformation homographique effectuée simul- 

 tanément sur Z et z, faire en sorte que l'intérieur de ce cercle devienne le 

 demi-plan j'>- o {z ^ x -\- iy). 



Nous avons donc à chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour 

 que la substitution [z | 0(3)] transforme en eux-mêmes l'axe réel et le demi- 

 plan supérieur. La solution de ce problème est très facile; on doit avoir 



où toutes les constantes sont réelles et de plus ^^o, <?,> o. 

 (') Séance du 1 '1 mai 1917. 



