SÉANCE DU 21 MAI 1917. 807 



Distinguons maintenant plusieurs cas : 



I. A\> I. — Le point à l'infini est un point limite. Le domaine de ce point 

 comprend la totalité du plan, à l'exception des points d'un ensemble parfait, 

 partout discontinu (P), situé sur l'axe réel. 



IL /• = I. — Ce cas se subdivise en deux autres: 



a. h ^ o. Les clioses se passent à peu près comme dans le cas précédent. 

 Le point à l'infini est un point limite dont le domaine de convergence com- 

 prend le plan tout entier à l'exception des points d'un ensemble parfait 

 partout discontinu, situé sur l'axe réel, mais qui ici contient le point à l'in- 

 fini lui-même, c'est-à-dire que le point limite fait partie de la frontière du 

 domaine de convergence vers ce point. 



b. h = o. — Dans ce cas, il y a convergence vers le point à l'infini tant 

 au-dessusqu'au-dessous de l'axe réel, mais jamais sur un segment quelconque 

 de cet axe; si l'on prend un segment arbitraire sur x'x, ses conséquents 

 successifs finissent par recouvrir cet axe tout entier. 



IIL o5X:<i. — Le point à l'infini cesse d'être un point limite ; les points 

 limites doivent être recherchés parmi les solutions de l'équation 0(s) = s, 

 de degré /> -f- r ; on trouve qu'il y a toujours yj — i racines réelles et dis- 

 tinctes, les deux autres pouvant être imaginaires conjuguées, réelles et 

 distinctes ou réelles et confondues. 



a. L'équation a toutes ses racines réelles et distinclci;. Il y en a une et 

 une seule a pour laquelle |0'(a)|<^i, donc un seul point limite. En 



posant T = — -, > t^ , c'est-à-dire en faisant une inversion qui 



' L — a. z — a * 



rejette le point a à l'infini et laisse invariant l'axe réel, on est ramené à une 



substitution 



•\ étant encore une fonction qui transforme en lui-même le demi-plan supé- 

 rieur 



mais ici k'~^ i, puisque l'infini est un point limite. 



On est donc ramené au cas I. 



h. L'écpiation aux points doubles a une racine double a. On a alors 

 0'( a) ^ I. En effectuant la même transformation que précédemment on est 

 ramené au cas IL 



