SÉANCE DU 23 AVIUL 1917. 621 



dien contenante, ,...,'C„. Puison fera varier'^,, ..., ^i^ sur leurs demi-sphères 

 respectives, et D sera le volume balayé par le polyèdre précédent. D est 

 limité par des éléments des trois catégories suivantes : 



1° Les demi-sphères a,, ... ,a|j,; 



2° Des portions de cyclides engendrées par des cercles orthogonaux au 

 plan O^ï] qui, ou bien rencontrent deux cercles y,, y^ (i,y::(jL) en des points 

 antihomologues, ou passent par un des C,(? — ~ [J^ -H i, • • -, «) et rencontrent 

 un des cercles y; 



3° Des portions de sphères orthogonales au plan O^v], tangentes à trois de 

 ces cyclides, déterminées par trois des cercles y,. 



D est d'ailleurs un volume convexe au point de vue non euclidien; on en 

 verra plus loin des exemples simples. 



On considérera- la fonction = -r — , étant le déterminantdecp, et l'on 



cherchera les valeurs des paramètres qui la.rendent ininima; ces valeurs 

 fourniront la ou les correspondantes cp de /' et, en réduisant une correspon- 

 dante, on aura par la même substitution une réduite de f. L'équivalence 

 des formes est ramenée à l'identité entre les réduites. Le minimum de 

 est par définition le déterminant de f el de toutes les formes équivalentes 

 à /. Tous les coefficients d'une réduite sont limités supérieurement en 

 fonction du déterminant, mais pour les derniers coefficients de la réduite. 

 la limite supérieure trouvée comporte en dénominateur le premier coeffi- 

 cient de la réduite. 



Si donc on ne considère, parmi les formes du type étudié, d'un détermi- 

 nant donné, dont les coefficients sont entiers, que celles qui ne peuvent repré- 

 senter zéro, elles ne forment certainement qu'un nombre limité de classes, 

 car elles ne peuvent être équivalentes qu'à un nombre limité de réduites. 



Les formes hiquadraliques donnent un exemple intéressant des circon- 

 stances nouvelles qui se présentent : on peut avoir / = /,/,, avec /, indé- 

 finie et/o définie, ou bien/, et/„ indéfinies. 



L Si/, est définie, D est une espèce de volume conique non euclidien 

 limité : i" par a, qui représente /, ; 2° par les demi-droites non eucli- 

 diennes qui, joignant X,^ à tous les points de y,, engendrent une portion de 

 surface cyclide ayant 'C^ pour point conique. La correspondante de / est 

 représentée par un point 'C, qui est le milieu non euclidien de la hauteur non 

 euclidienne du cône précédent, c'est-à-dire du segment non euclidien 'Ç/C, 

 mené par '(,> orthogonale ment au plan non euclidien a^ . 



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