SÉANCE DU 23 AVRIL 1917. 623 



Il suffit de supposer F(.<-, y) non décroissante par rapport à .r, à. y et 



k(x,y). Pour une ordonnée fixe j' quelconque, l'existence de ir^ presque 



partout est connue, d'après la théorie des fonctions non décroissantes d'une 

 seule variable. Soit S, l'ensemble exceptionnel de valeurs de œ. 



Désignons par S l'ensemble de tous les xde tous les ensembles S^ corres- 

 pondant aux valeurs rationnelles de r. T.a mesure de S est nulle. Nous 

 allons démontrer qu'il suffit de faire abstraction de cet ensemble S pour 



que ^-; existe, sauf pour un ensemble dénombrable de y correspondant à 



chaque valeur de x. 



Soient ./,(a?, y) et /^{^'i y) les nombres dérivés partiels extrêmes de 

 F(ic, y) par rapport k x; ce sont les limites supérieures et inférieures 

 d'indétermination de la suite de fonctions 



F(.r + h, y) — \'(.r, y) 



fonctions non décroissantes de j; /, (x, y) el/«(x, y) sont donc aussi des 

 fonctions non décroissantes de y. Par suite, elles ont des limites uniques à 

 chaque point (a;, k) quand, x étant constant, le point variable s'approche 

 de (x, y) par en haut ou par en bas. La valeur du nombre dérivé en question 

 est comprise entre les deux limites correspondantes. Le calcul de ces 

 limites peut évidemment être fait en approchant (x,y) par valeurs ration- 

 nelles de y. 



Or, supposons que a; n'appartienne pas à l'ensemble S. Pour chaque valeur 

 rationnelle de j, /', (j;, y) = /^(a-, y). Par conséquent, les limites dont nous 

 venons de parler sont identiques, et /', ( r, y) =/2(-^. .''')' ^^^^ ^^^ points 

 de discontinuité de /", et /"„, qui sont dénombrables. Notre théorème est 

 démontré. 



W. Tous les nombres dérivés par rapport à y de tous les nombres dérivés 

 de F (x, y) par rapport à x coïncident, sauf aux points (c,y) d'un ensemble 



de mesure nulle. C'est-à-dire ~ — ^ existe presque partout. 



Supposons d'abord F(x,y) non décroissante par rapport à .r, à y et 

 à (x,y) et prenons un x n'appartenant pas à l'ensemble S (§2). Les 

 nombres dérivés extrêmes par rapport à .r, /, (x, y) et J\(x, y) sont alors 

 non décroissants par rapport à jet auront par suite des dérivées, sauf dans 

 un ensemble de mesure nulle de valeurs de y, déterminé par x. Ajoutons 



