624 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



les points de discontinuité de /,{-i', y) et /„(;r, y), et nous aurons un 

 ensemble E^. de valeurs de y de mesure nulle. 



Si r n'appartient pas à E^, /^(x, y) el/.,(x,y) seront égaux (n" 2) et 

 chacune de ces fonctions de y possédera une dérivée. Pour calculer ces 

 dérivées, nous pouvons faire tendre le point (x, y -{- k) vers (x,y), en 

 évitant Tensenible E^. De cette façon les expressions dont les dérivées 

 cherchées sont les limites seront identiques; ces dérivées sont donc égales. 



Faisons varier .r; en tenant compte de l'ensemble S, nous aurons un 

 ensemble exceptionnel E dont la mesure plane est zéro. C'est le résultat 

 voulu, pour le cas des nombres dérivés extrêmes. 



Or si g{^x,y) est un nombre dérivé quelconque de F{x, y) par ra|)port 

 à. X, il est compris entre /\(x,y) et f^ix, y) et leur sera donc égal si le 

 point (a?, y) n'appartient pas à l'ensemble E. On aura pour un tel point 



/..(x, j-f- L)—f„{x.y) ,, ff(x. >■+/.■) — .g(a-, Y) ^ .fx{x, r + /.j — /.(j',!-) 

 /. = A- = A- 



Faisons tendre ^- vers zéro; il est évident que g{x^y) possède la même 

 dérivée par rapport à y que/, {x^ y) et /'„{ .r, j), ce qui prouve notre pro- 

 position. 



Nous avons, jusqu'à présent, supposé ¥{x,y ) non décroissante. Dans le 

 cas général, ¥{x,y) sera la différence de. deux fonctions \\{x,y) et 

 F, (a;, y) non décroissantes. L'équation 



F(.r-H-/f,y)-l-(.r,r) _ F,( j-- +/i. .y) — F, (.r. j) V,(x -^ h, y) -¥,_{-r, \) 



nous permet de définir des nombres dérivés g\ (x^y) et g.,{x,y) de F, {x,y) 

 et de ¥.,{x, y) déterminés, comme limites, par des suites de valeurs de //, 

 qui varient avec {x,y), et donnent un nombre dérivé g(.r, v) de F(j-, }-), 

 préalablement choisi. Nous aurons donc 



-(.r, y) = g^{.r. y ) — i'.,(.r, y). 



En supposant que le point (r, j) n'appartient pas à Tun ou à l'autre des 

 deux ensembles E, et Eo de mesure nulle, nous pouvons dériver le second 

 membre de cette équation par rapport à j, et notre théorème est 

 démontré. 



4. Lorsque ¥{x,y) est une intégrale de Lebesgue, on voit immédiate- 

 ment ([uc les théorèmes des n"* 1 et 3 prennent la forme suivante : 



