Si 



nous aurons 



SÉANCE DU 23 AVRIL I917. ^25 



F ( .r, y) =3 r r f (■'', y) dx dy, 



sauf aux points x (Vun ensemble de mesure {linéaire) nulle, indépendant 

 dey, et 



- — ^ = ^^ — ^ = f{x. y), 

 o.c oy oy o.r 



sauf aux points (x, y) d'un ensemble de mesure {plane) nulle (' ) . 



5. Tous les nombres dérivés partiels du second ordre d'une fonction ¥(x,y) 

 à variation bornée sont sommables par rapport à {x, y). 



D'après le n" 3, il suffit de prendre ¥{x,y) non décroissante, et de 

 démontrer le théorème pour un nombre dérivé o{x,y) par rapport à r 

 de/', (a;, v).Or /', (a;, y) est sommable par rapport à .i' et non décroissante 

 par rapport à /. Par suite, 9 (a-, y) est somniable par rapport à y et 



/ (p {x, r) dy'S f\ (x, y) ; / o {x, y) dy est donc sommable par rapport à x. 



Par conséquent, o{x,y), étant ^o, est sommable par rappoit à {x,y). 

 C'est ce qu'il fallait démontrer. 



(î. Pour une fonction ¥{x,y) non décroissante par rapport à x, à y et 

 à (x, y), on démontre de même que 



F(.r, v)= r / .^d.rdr-^- I S,{x,Y)dx + S,{.r,y 



), 



OÙ s, est une fonction non décroissante par rapport à x, à y et à (r, y), 

 ayant une dérivée nulle par rapport à x presque partout, et S, est une fonction 

 non décroissante par rapport à y, ayant une dérivée nulle par rapport à y 

 presque partout. 



(') M. Lebesgue m'a signnlé que ce résultat a déjà été publié par MM. Fuljiiii il 

 Tonelli dans les Rend, di Pal., t. 10, février 1916, p. 290. 11 est intéressant de cousin li r 

 que les méthodes, employées indépendamment par ces auteurs et par moi-niènir, se 

 ressemblent beaucoup, sans être tout à fait identique?. 



