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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la sommation des séries uhrasphériques. 

 Note de M. Erwano Kogbetmantz. présentée par M. Appell. 



La recherche de la sommabilité (C) de la série ultrasphérique 

 se ramène à l'étude des constantes de Lebesgue pjf"^' d'ordre o]>o de la 



série 





F{6', 9')y.'',;'-i{costo)r/(7' 



— /. 



('•) ' "0 "s" [sin^&'sin2((p — cp')J 



' [cosco = cos^cosÔ'h- sinô sii)5' cos(9 — 9')] (>.>o) 



qui généralise la série de Laplace / X ^ - j et se réduit à la série (I) pour 



F(l3, ffl)=/(cosÔ) (.r = cose). 



Or, 



OÙ s^l'/^\x) est la n"'""' moyenne arithmétique d'ordre o de la série 



La méthode connue, de Darboux, fournit pour s'^'^'"{x) la formule 

 approximative, d'où résulte l'inégalité fondamentale 



(i) i^,p>(^)i<- — -^ — - + . ,^^"t'iî-,... <,/.>o, ô>o). 



La même méthode nous donne aussi 



(2) [2imB)^-(ii\n-\*'' s'y'(coiO) = 2?.sin in + Iltl^' "j 5 + J.jrl + ri;,')( Ô), 



OÙ 



mais il faut recourir à la méthode de Stieltjcs pour démontrer l'inégahté 



