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SÉANCE DU 29 MAI 1917. 85l 



(P. polynôme adjoinl), 



respectivement relatives à F, et à ses sections hyperplanes ; = const., 

 ou H,. D'après M. Picard une période quelconque ~(z) de J^ est de la 

 forme 



-, 1; 



les notations étant à peu près les mêmes que dans son Traité des fonctions 

 algébriques de deux variables . Soient ; = c un hyperplan tangent à F, A son 

 point de contact, et supposons que b,^= h^, pour z = c. En remarquant 

 qu'une section plane voisine de A n'a en général que deux points de ramifi- 

 cation voisins de ce point, on voit que il, = O^. pour s voisin de c. On en 

 conclut, par des considérations classiques de lacets, que quand z tourne 

 autour de c tout se passe comme si m, et m/, étaient permutés, sans que les 

 chemins d'intégration pour les intégrales dans l'expression de ~(-) le 

 soient. Donc - est algébrique au voisinage de c. (^omme elle a au plus 

 n\ valeurs (n classe de H,), qu'elle est régulière à l'infini, cette fonction 

 est algébrique en z. Ainsi ; 



Toutes les périodes de l'intégrale double 3. sont algébriques en z. 



M. Picard avait démontré jadis (Comptes rendus, t. 134, 1902, p. 169) que 

 ces périodes satisfont à une équation différentielle linéaire du type régu- 

 lier. On voit que l'intégrale générale de cette équation doit être algébrique. 



2. Les cycles à trois dimensions de la variété F se partagent en deux 

 catégories : i" ceux engendrés par des cycles à deux dimensions de H- 

 quand ^ décrit un chemin fermé convenable, ou réductibles à des cycles de 

 cette nature; 2° ceux qui ne peuvent être obtenus ainsi. Les premiers sont 

 les cycles effectifs. Soient RJ, le nombre de ces cycles, i -1- Iv, la connexion 

 à ?' dimensions de F, i -h r, celle de H^, ou si l'on veut d'une section hyper- 

 plane arbitraire H de F, si les axes sont arbitraires. On a d'ailleurs 



R, = Ro-„ r;=f.:~n R, = '•.• 



Le théorème que nous venons de démontrer permet de ramener l'étude 

 des périodes de l'intégrale triple J, par rapport aux cycles effectifs, à celle 

 des périodes d'une intégrale abélienne convenable. On montre aisément 

 qu'en défalquant du nombre de ces périodes celui des résidus à l'infini, on 



