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obtient ainsi R!,. On en déduit alors la formule 



où I., est l'invariant de Zeuthen-Segre. En comparant avec une formule 

 donnée par M. Alexander (Rendiconti dei Lincei, août 1914), ceci donne 

 K!, = R.J — R,. Effectivement on peut montrer qu'il y a R, cycles à trois 

 dimensions non effectifs, traces des cycles à cinq dimensions sur une 

 surface H arbitraire. Les périodes de J par rapport à ces cycles sont nulles. 

 Ainsi J n'a que des périodes par rapport aux cycles effectifs. 



3. Passons à la con?,iàèTd,{\oïvàes intégrales de deuxième espèce. \\ est com- 

 mode d'adopter pour elles la définition suivante : Une intégrale triple J 

 sera dite de deuxième espèce si, A étant une quelconque de ses surfaces 

 d'intini, il existe une intégrale 



(U, V, W, fonctions rationnelles), 



telle que la différence entre les deux soit finie au voisinage d'un point quel- 

 conque de A. Les intégrales (i) sont les intégrales impropres de deuxième 

 espèce, les autres étant les intégrales propres de même espèce. Ces inté- 

 grales peuvent avoir des résidus par rapport à leurs surfaces d'inlini, mais 

 non par rapport à leurs courbes d'intersection. 



Considérons maintenant un système linéaire |E| de surfaces, 00' au 

 moins, à courbe caractéristique irréductible, et tel que nul point de F ne 

 soit multiple pour toute E (jui y passe, lui se servant des propriétés de cer- 

 tains cycles à deux dimensions que j'ai considérés récemment (Rendiconti 

 dei Lincei, fév. 19 l'y), on montre que le nombre p de AE est égal à celui deF, 

 pourvu que l'entier /c soit supérieur à une certaine limite. Dans les mêmes 

 conditions, et en se basant en partie sur cette propriété, on ramène toute 

 intégrale de deuxième espèce à une autre, à résidus nuls, et à une seule 

 surface d'infini générale dans |/E|. R en résulte V invariance des intégrales 

 propres de deuxième espèce pour toute transformation birationnelle de F 

 en une autre variété à singularités ordinaires. 



D'après ce que l'on vient de voir, il suffit d'étudier les intégrales à une 

 seule surface d'infini kJL. Voyons d'abord celles qui sont impropres de 

 seconde espèce. Soit 



