SÉANCE DU 29 MAI 1917. 853 



l'une d'elles. Posons, avec M. Picard, 



et considérons l'intégrale double de différentielles totales 



(3) / i \}dYdz + \ dzdx + {y^ — &)dxdY. 



Pour que les périodes de (2) soient nul/es, il faut et il suffit que les résidus 

 polaires de (3) soient aussi ceux d'une intégrale double de différentielles 

 totales 



(4) / I il'/y dz -\- K(/zd.v -i-L(/j: dy ( H, K, L rationnelles) . 



Ceci se démontre en mettant sous une forme spéciale les intégrales à une 

 seule surface d'infini /E, à périodes nulles. 



Le nombre À d'intégrales (2) sans intégrale (4) correspondante esL un 

 invariant numérique de F, analogue à l'invariant p de M. Picard, et comme 

 lui capable d'une interprétation transcendante, bien entendu à l'aide des 

 intégrales doubles de différentielles totales, et non plus des intégrales 

 simples. On trouve enfin facilement, pour le nombre p„ d'intégrales propres 

 de deuxième espèce, la formule fondamentale 



p„=l3+2R,-3R,-4-}., 



formule tout à fait semblable à celle de M. Picard dans la théorie des inté- 

 grales doubles de surfaces algébriques. 



On peut obtenir des résultats tout à fait analogues à ceux de cette Note 

 dans le cas des variétés à un nombre quelconque de dimensions. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les ^généralisations de la méthode 

 de Walter Ritz. Note ( ' ) de M. Nicolas Kryloff. 



Vu l'importance de la méthode proposée par l'illustre physicien suisse, 

 il y a intérêt à l'appliquer à un système mécanique ayant un nombre fini 

 de degrés de liberté. 



Dans le cas où le degré de liberté est égal à /<, en admettant que le po- 

 tentiel soit une forme quadratique et homogène, on aboutit au système sui- 

 vant des équations différentielles : 



d-x- 



(1) -;^ — A,-,j:-i — A,,./-.— A,-3-f-3— •••— A,„J„ = /,- (où j = i,3,3 w;A,/,= A/,,% 



(') Séance du 21 mai 1917. 



