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qu'il s'agit d'intégrer, ayant égard aux conditions frontières 

 (a) x,{a) = xi(b)=:o (pour « = i, 2, 3, . . . , «). 



On envisagera l'intégrale 



* i ri ~\i 



+ ku-3:\ + 2 A,2.r,.r2-î-... I 4- V/, .r, ' dl . 





dont la première variation s'annule en vertu de (i), (2); pour trouver les 

 fonctions x„ qui minimisent I, on trouve les conditions 



(4) 



è=X"(^ t - [I;— /'] ^^^^^^ - 



où I„, est le résultat de la substitution dans I des séries finies a;„„ = Va,^- 1|;^; 



k = l 



par l'introduction des nombres arbitraires a,;^, le système (4) peut être 

 présenté sous la forme utile pour la suite 



m 

 k =1 



Cela acquis, posons y, = a7„„^.„ — x,^ et formons la dillérence de deux 

 valeurs non minimisées de I; la combinaison de l'expression ainsi obtenue 

 avec les équations (5), prises pour la valeur de l'index égale à (m + n), 

 donne pour !„,+„— l^ l'expression suivante, où l'on a ainsi pris en considé- 

 ration les conditions de minimum, 



(a\ I» I"— . i jiV "(•'^ •'"+''— ■^im) I' , ' r A /^ r \2 



\U) l,„+„ 1„, _ I J2^ ^7^ ■+- -\.'^ii(Xh„^-,i— -l^lm) 



-+- 2 A], (,ri(,„4_„) ^im) i-^-ïim+n) ' ^'im ) 



car, vu l'indétermination des coefficients a,7t, on a pu évidemment poser 

 Si l'on démontre à présent que les I possèdent la borne inférieure, on en 



