SÉANCE DU 29 MAI I917. 855 



conclut, au moyen de la relation (G), que 1 1;;,_^„ — 1^| < s, où £ est arbitrai- 

 rement petit; par conséquent 



/'[ '^'^''""ir^'''"T ^^<^' 



d'où l'on aboutit à la conclusion que les a;,„ convergent uniformément vers 

 certaines fonctions continues a\. 



Pour prouver l'existence de la borne inférieure de I, quand aux .x\ on 

 substitue les fonctions vérifiant les conditions de continuité elles conditions 

 aux frontières, il n'y a qu'à partir d'un système a?J"des intégrales des équa- 

 tions différentielles données, certainement existantes, et poser 



d'où 



(7) 



r,= .c^'>4-x^^', 



x'^'(a) 



j.T{a), x',V(b)=-xy''{b), 



VU les conditions frontières imposées aux a", ; le résultat de la substitution, 

 au moyen de l'intégration par parties, prend la forme suivante : 







dKr', 



-f ^ ^;-^' F- '-^^ + A„x'," + A,-,xy' +... + /, 



*-2h"^];- 



qui peut s'écrire 



I 



HUi"^ 



-t--[A„.r7'+A„.r,^'.iV' + ...].//, 



où !„ est connu; vu le signe de la forme sous le signe de l'intégrale, cela 

 prouve que I^I^, c'est-à-dire l'existence delà borne inférieure. Pour 

 établir l'existence des dérivées de ces fonctions limites X/ et pour trouver 

 les équations différentielles qu'elles vérifient, il n'y a qu'à intégrer par 

 parties les équations (5), ce qui donne 



(9) 



l ] ~ "'■" 





= o, 



