SÉANCE DU 29 MAI I917. ^^7 



il peut être utile de considérer celles-ci comme les solutions fondamentales 

 d'une équation intégrale; c'est ce que j'ai fait dans une Note (') précé- 

 dente, où j'ai donné un noyau de Fredholm, obtenu en généralisant une 

 méthode de D. Hilbert. Cette méthode ne conduisant d'ailleurs qu'à cet 

 unique noyau, il me paraît intéressant d'indiquer un procédé permettant 

 de former sans peine un grand nombre de noyaux nouveaux. 



En me bornant ici, pour plus de simplicité, au cas d'une seule variable, 

 je rappelle que les polynômes U',l\x) sont définis par 



s 



(i — 2«J-)-«'-) "■ = i«" UJf (x) (.< = entier positif). 



On sait que l'intégrale 



n'est différente de zéro que si m^ n. Donc, si K(a^, j') désigne une fonc- 

 tion représentée dans le domaine ( — i5a", y=-+- f) par le développement 



il est clair que U"'(:r) est une solution fondamentale de l'équation intégrale 



'HJ-)=r.l f {i-r')~K{.v,y)oiy)dy. 

 - — 1 



Ceci étant, la remarque suivante permet de former aisément des fonc- 

 tions telles que K(a-, y) : 



Soit F(.r) une fonction représentée, dans l'intervalle (— i^a;5-l-i), par 

 la série uniformément convergente 



(0 F(.r) = iA„U,f'(^). ' __ 



la fonction 



(2) K(x,j)=/ F[j?j-|-y'i — x- \/ 1 — ) - cosuj sin'~'t.j <r/(i) 



•-'11 



admet, dans le domaine (— ilx, .}'=+ i), le dèveloppemenl 



(3) K{^, r) = 2-' pf") 2 A„^|^i^u;f' (X) u;;'(r )■ 



(') Comptes rendus. 1. î()2, 191G, p. -47- 



G. R., 1917, ." Semestre. (T. 184, N" 22.) HO 



