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Cette proposition se démontre en remplaçant F par la série (i) dans 

 l'intégrale ( 2) et en s'appuyant sur la formule connue 



f"v',V[xy -+- v''^^=^ V^'i"^^ co-„] sin' -'m rk, = 2-'-' r^(^) p|"^^| u',f(^) U',f ( V). 



Appliquons ceci à quelques exemples : 

 i" Soient les trois fonctions 



F,{^) = (i — ,^a.^■ + «^)^^ Fo(x) = c'"-^'. F3 (.r) = ( 6 — jr )-•' (a<j;b>i) 



pour lesquelles respectivement ( ' ) 



s 



X<]>=n", AtJ'rzrf^^ \^(■l^|i'J,, + ■l'j}^^^^(a). k;l' = (2n + s)Q';;ib). 



L'intégrale (2) s'exprime par des transcendantes classiques et conduit 

 (en posant .r = cos Ô, y = cos cp) aux résultats suivants : 



, , ,a , .n-^ol'-' •'•' 4«sinôsin<p 



K, = I — ■)« cos(& H- ca) + a- -1* -, -, .ç, ■ -^ 



' ' ■ ■" I 2 2 I — 2 « cos ( 9 + 9 ) + rt- 



„ r(.v)r(» 



= la" — îT- 



■1) 



U:;*(cose)U',f'(cosa)), 



r<«-)-.s) 



K.,::=: 4 /— (siiiÔslno ) " g"'"*'-' ''"*? ,1 , „ , [« sin ô siii ffl ] 



^2^-n-4-)li"(in^s) l';"^'l .\ ,{a)l]f{cosO)U'incoso). 



K.j~\0 — cos(6» + o)] -[ù — cosC; — cp)] '' 



1° La fonction 



-F,(^) = Log^- = , -hV y^" \-„(x) 



I — .i: — i^ « ( /( -t- 1 ) 



i 



conduit pour les polynômes de Legendre X„ = \J',l' à un noyau classique ( -) ; 

 en efl'el, l'intégrale (2), qui admet ici le développement 



1 



(') *v*« ('') désigne, comme d'iiabilude, lii fuiiclion ilc deuxième espèce. 

 (-) Cf. El). GoiRSAT, Cours d'A/ia/y\se malhcmalùjue, t. III, igi^, P- aSg. 



