SÉANCE DU l8 JUIN 1917. 933 



La dérivée du second membre par rapport à sinoi, réduite à une seule 

 fraction à dénominateur irrationnel essentiellement positif, a pour numéra- 

 teur l'expression 



(9) acoss ^cos-o — cos=<I> -h acos'ip — (2 -+- sino) cos'$. 



Or, quand o grandit de zéro à <&, celui-ci, dont les trois termes varient évi- 

 demment en sens inverse de o, décroît depuis 2 sin$(i -f- sin$j jus- 

 qu'à — sin$ cos'$; et il est d'abord positif, puis négatif, en rendant bien k' 

 minimum pour la valeur intermédiaire qui l'annule. Cela donne une rela- 

 tion en sincp qui, par l'élimination d'un radical, devient l'équation du 

 troisième degré, pourvue effectivement d'une racine positive unique, 



(10) (2 -I- sino)- cos-4> — 4(' + sincp) (i — 510-9)^0. 



L'introduction de tang^<I> à la place de cos-$ la transforme en celle-ci : 



2^/2 lani;<P 



(11) tango = 



\,' i) + lang-^ 



et elle se résout alors par approximations successives, en observant que la 



substitution de $ à o dans son second membre le fait croître à peine. Aussi 



ai-je reconnu qu'on peut prendre, avec des erreurs n'atteignant pas une 



demi-minute pour les valeurs de <I» qui vont de 19° à 48" et comprennent 



toutes celles qui sont usuelles, 



, . , /^ 2v/2 tans*!» 



(12) tang(si -1- 2 ) — ' 



\/= 



>4 2 



Le minimum cherché de k' résulte ensuite de (8) et, une fois œ ainsi connu, 

 se trouve donné par la formule 



(i3) A' (minimum )= itang-^^| — ^j 3 -(- lang^ /| — t\ . 



VL Pour des angles donnés de frottement variant de 20° à 5o°, la limite 

 inférieure /{■„ va de 0,3907 à 0,0924 et, la limite supérieure minima A', 

 de 0,4507 à 0,11 53. L'écart de ces limites est donc, par rapport à la plus 



grande des deux, une fraction n'excédant pas le ^ : ce qui, dans des ques- 

 tions de cette nature, constitue une approximation pratiquement suffisante. 

 On pourra donc adopter, comme coefficient ihèoriqueactue/iement le meilleur, 



